Python神经网络学习(五)--机器学习--简单的神经网络

前言

抱歉时隔这么久再讲神经网络的内容，希望大家还没忘记第二期的内容：分类器是什么东西？https://blog.csdn.net/qq_38431572/article/details/117199679https://blog.csdn.net/qq_38431572/article/details/117199679

 第二期讲的是分类器，而上一期（第四期）的线性回归讲的是预测器，如果大家把概念搞混了，可以去第一期再回顾一下，上面的文章都是3-5分钟的阅读量。

前面回顾

在第一期中已经讲过，代码中神经元就相当于一个小的功能函数，那么当很多个神经元组合起来，就能完成很多的事情了。

多层次的神经网络就是利用每个层次多个神经网络，多层链接，然后就完成了复杂的任务。

本期速看

这次就从三层的神经网络起步，最后完成一个验证码识别的任务（会提供源码和验证码图片，等审核通过后上传到下载里面，评论区提供链接）

本期的公式中，注意我使用的 * 和 · 符号，前面 * 是普通乘法，后面 · 是矩阵点乘。

三层神经网络

一层，一个神经元

先从最简单的开始，这个想必大家已经很熟悉了，一个神经元，接受一个输入，然后通过激活函数计算，计算完成之后的结果和目标值进行比较，然后得到误差，之后把参数+这个误差的一部分（乘以学习率），完成误差更新，重复很多次之后就完成了训练。

三层，每层三个神经元

三层神经元的结构和原理

这个时候比较麻烦，三层的结构是这样的：

看起来乱七八糟的，但是原理还是一样的：

刚开始在输入层接收三个输入的值，通过计算，向右一直传递（向前传递），然后经过隐藏层的计算，经过输出层的计算，得到最终的输出结果，把这个结果和真实的结果比较，得到误差，然后反向计算每一层的误差，根据误差更新参数，重复多次后就得到了最终的结果。

输入层

顾名思义，这个层级仅仅用来输入数据，不会做任何的处理，直接把输入向隐藏层传递，这也符合我们的认知，输入层就是用来输入的，输入什么就应该是什么。

隐藏层

无论隐藏层有多少层，统称为隐藏层，这里隐藏层只有1层，是特殊情况。除了输入层和输出层都是隐藏层。

输出层

对于分类器来讲，一般输出层的数量和分类的数量有关，比如0-9共10个数字，就需要10个输出神经元。具体使用时需要实际调整。

输入在三个层级的流动

输入层-隐藏层

上面的图片有点乱，也令人害怕，不如先看一部分，先看四个节点：

那么，单论这一个隐藏层的节点来看，就非常明了了，这个节点的输入就是：

其中w就是权重，w11代表前一层的第1个->后一层的第1个。w21表示前一层的第2个->后一层的第1个，以此类推，a就是代表网络的输入。

同理，隐藏层其他两个节点的输入也就能算了：

问题在于，如果节点很多，不能写很多这样的式子，这是可以引入矩阵乘法，重写h1的输入：

W就是权重矩阵，I就是输入的矩阵，同理：

整个隐藏层的输入就是：

那上面三个式子又可以再次合并了：

其中，代表隐藏层的输入，  代表输入层和隐藏层之间的权重矩阵，I 就代表了整个神经网络的输入。这次我们把符号标入图片，再来看这两层：

 这时是不是就清晰了很多，下面的操作就是使用激活函数给每个隐藏层的输入计算一下，这就是隐藏层的输出(这里选择sigmoid作为激活函数)：

 隐藏层-输出层

先把隐藏层和输出层的连接图画出来：

同理，根据图可以写出最终的输出公式：

其中， 是输出层的输入，是隐藏层->输出层的权重矩阵，是隐藏层的输出。

输入层-隐藏层-输出层

现在再来回顾整张图片，相信大家不会再害怕了吧：

计算误差

方法

和之前一样，我们使用实际值-计算值作为误差，在这个网络中，假设实际应该得到的输出是：, 上面计算我们得到的输出是：，那么整个网络的误差就是：

。

和之前一样，我们可以获得误差的平方项：

现在回顾一下，我们需要通过误差矫正所有的权重，根据梯度下降的算法（第四期讲的），权重的更新公式应该如同这样：

这时，我们发现E里面只有 t 和 o ，没有w啊，可以不难发现，o 是由 w 计算出来的，应用链式法则：

。

只拿出来两个节点说明，单独看e1：

误差：

误差对权重的导数：

(删除常数2是因为常数可以通过学习率修正，所以无论常数是多少，都可以删除掉，也可以不删除)

对于计算误差来说，t1和o1都已经知道了，下一步就是计算后面的偏导数，再来看：

，更精确的写，应该是：，即输出层的输出对隐层-输出层的权重的偏导数，那这个式子又可以写成这样：

其中，Sigmoid()求导是Sigmoid(1-Sigmoid())，在这里不计算了，大家有兴趣算一下。

Sigmoid()内部的部分对w求导，得到一个常数C乘以，如上所述，常数省略掉。整个大式子化简成：

虽然很长，但是推导下来，也不觉得恐怖，只需要按照这个步骤敲代码就好了。

假定现在我们计算出了这个e，现在要怎么传递呢？

输出层-隐藏层

先把前面的图拿来一下：

假定这个（o1处的误差）已知，误差向前传递，很容易想明白：谁给的东西多，就谁的误差大。

比如，o1这个节点，h1提供了w11的权重，h2提供了w21的权重，h3提供了w31的权重，那么误差从o1传递回去就应该给h1传递

，

同理：

o1给h2传递：

o1给h3传递：

可以发现，这三个误差的分母是相同的，那干脆都不要了，权直接删掉权重。

同理可计算o2、o3向前传递的误差。使用矩阵形式表示：

这个就是误差传播的矩阵，这个权重矩阵正好是前向传播矩阵的转置矩阵。

那么整个训练就可以根据这些东西来。

代码实现

训练

前向计算输出

反向计算误差

 预测

 其实代码的每一个步骤都是和上面的推导一一对应，代码中注释页很齐全，希望大家比着代码多多理解。

验证码识别

图片来源

我自己使用windows的画图软件，调整图片大小，自己手写的图片。

识别策略

首先把图片切割为四个部分，然后分别识别，最后汇总结果：

识别效果

（windows太慢了，最后用mac跑的代码，M1芯片，大概只用了一分钟。windows10 10代i5好像需要200+秒的样子）：

 结束语

本期有点晦涩，如果不懂欢迎评论区留言讨论，希望大家都能理解明白。

感谢观看！