无脑敲代码，bug漫天飞
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伴随矩阵九大公式

1 公式一

        AA^* = A^*A = |A|E

伴随矩阵定义式，也是判定方式

        和原矩阵同阶的可交换方阵；

        和原矩阵相乘结果是行列式值和单位矩阵之积。

2 公式二

        A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*

逆矩阵的另外一种定义方式；

3 公式三

对于可逆矩阵

A^* = |A|A^{-1}

可以求出可逆矩阵的伴随矩阵。

4 公式四

        (A^{-1})^* = (A^*)^{-1} = \frac{1}{|A|}A

        伴随矩阵的逆矩阵和你矩阵的伴随矩阵相等，都等于原矩阵除以其行列式的值。

5 公式五

        根据伴随矩阵的构成，以及代数余子式的性质：

                (A^*)^T = (A^T)^*

        转置矩阵的伴随等于伴随矩阵的转置

        公式五推广

                ((A^{-1})^*)^T = ((A^T)^{-1})^*

        转置、伴随和求逆三者任意排列组合复合运算结果相等

6 公式六

我们知道：

AA^* = A^* A = |A|E = \begin{bmatrix} |A| & & \\ & ...& \\ & & |A| \end{bmatrix}

两边同时取行列式

|AA^*| = |A||A^*| = ||A|E| = |A|^n

|A||A^*| = |A|^n

|A^*| = |A|^{n-1}

上面的证明前提条件是A是可逆的（在约掉|A|时，默认了其值不为0）

但是伴随矩阵存在与否与A是否可逆无关，因此上述方法只能证明A是非奇异矩阵（也就是可逆矩阵）的情况。

继续接着：|A||A^*| = |A|^n证明

        用A - \lambda E替换A

|A - \lambda E| |(A - \lambda E)^*| = |A - \lambda E|^n

存在\lambda > t   时，A - \lambda E是可逆矩阵

        |(A - \lambda E)^*| - |A - \lambda E|^{n - 1} = 0

对于任意\lambda 使得等号左端的有限次多项式恒为0，令\lambda = 0

        |A^*| = |A|^{n-1}

因此就有公式六： |A^*| = |A|^{n-1}

        伴随矩阵的行列式值等于原矩阵行列式值的 n-1次方；

        一个矩阵行列式值若不为0，则它的伴随矩阵的行列式值必然不为0；

        矩阵可逆和它的伴随可逆互为充要条件

7 公式七

        (AB)^* = B^*A^*        

        两矩阵之积的伴随等于矩阵伴随的反向之积

                如果A和B可逆：


                        (AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|}(AB)^* = \frac{1}{|A||B|}B^*A^* = \frac{1}{|B|}B^* \frac{1}{|A|}A^* = B^{-1}A^{-1}

        如果两矩阵可逆，二者之积的逆等于两者逆矩阵的反向之积

8 公式八

        (kA)^* = k^{n-1}A^*

        给矩阵乘以常数倍后求伴随，相当于该矩阵的伴随乘以常数的n-1次方

9 公式九

        (A^*)^* = |A|^{n-2}A \ n >= 2

                一个矩阵伴随的伴随等于它行列式的n-2次方乘以它本身

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