卷积物理含义

再学信号与系统时，接触到了卷积，在理解卷积的物理意义时，在网上了进行了一番搜索，记录下来，方便以后的回顾。

网上搜到了很多关于卷积物理意义的解释，下面是我觉得比较贴近信号与系统的解释，更贴近公式的物理含义。当然了，是因为我在学信号与系统，而信号与系统里包含了卷积的概念，我才找如下的例子进行阐述，我也看到了卷积用在很多领域上，比如图像处理等等吧，这里只是针对信号系统来理解卷积。

作者：镜面狐
链接：https://www.zhihu.com/question/22298352/answer/96263002
来源：知乎
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“先看下图，左边是输入信号，右边是输出信号：

(a)中，输入信号p(t)经过系统后得到输出信号h(t)；

(b)中，输入信号较之于(a)延迟了τ，表示为p(t-τ)，由于是LTI（线性时不变系统），输出信号也延迟τ，变为h(t-τ)；

(c)、(d)两图阐释了LTI的叠加原理：若以p(t)+p(t-τ)为输入，则输出为h(t)+h(t-τ)；

假设现在有一个输入信号u(t)，将其表示为若干个我们刚刚见过的p(t)的叠加

 

那么u(t)通过上文的系统后，会得到什么呢？

假设可得y(t)，根据叠加原理：

但我们仍有一些不太满意的地方，用p(t)表示的u(t)并不是精确的u(t)啊，那些小长条的面积比u(t)的面积可少了不少呢。除非Δ尽可能的小，长条尽可能的窄。

诶，这不就是积分么？

所以：

这就是卷积，与其理解成翻转，不如理解成延迟后叠加。”

这个例子告诉我们卷积可以理解为延迟后的叠加，在这个例子中我也注意到输入信号u(t)的组合何尝不是一种卷积呢，故应该也可以这样来理解卷积的定义，即将一般信号分解成了一系列阶跃信号的组合。

不过面对那么多卷积的解释和应用领域，我疑惑的是，卷积是如何一步步发展到不同的应用领域中的，目前图像变换和信号都涉及了卷积，那么卷积进入这些领域的时间线是怎么样的呢？或者卷积在不同领域是否有内在的联系？ 

若卷积既可以理解为延迟后的叠加，又可以理解为将输入信号分解为一系列阶跃信号的叠加，那这两种理解方式在工业上都有应用吗？

或者卷积定义在其它领域上的物理含义？

这下理解了，我说怎么老觉得怪怪的，说不上来的感觉，原来是看着网上那么多的解释和信号书上介绍的不一样导致的。

这位大哥的评论让我茅塞顿开，

合恩角的风

“其实，我觉得你们的解释有一个问题。你们的解释只是阐述线性时不变系统的公式，响应=输入*系统函数。每本信号书上应该都有详细说明，即：一个信号可以分解成无数个冲激函数。而系统的系统函数就是每个冲击得到的响应，因为系统是线性时不变，所以可以把输入的各个冲击响应叠加起来，就是输出。而反褶和平移在每本书上都不是用来解释卷积的，而是用来计算卷积的方法。“

所以网上那么多对卷积的介绍只是解释计算卷积的方法，而卷积在信号引出的背景是信号可以分解成一系列阶跃信号的组合。