抽象代数笔记2——群

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群的定义：
设 G G 是一个非空集合，“o o ” 是 G G 上的二元代数运算，称为乘法。
如果下列条件成立，则称 G G 对 它的乘法“ o o ”构成一个群(Group)。
1. 乘法“o o ”满足结合律。
2. 对乘法“ o o ”， G G 中有一个左幺元 e e 。
即 ∀a∈G, e o a=a ∀ a ∈ G ,   e   o   a = a
3. 对乘法“ o o ”， G G 中每个元素都有一个左逆元。
即 ∀a∈G, ∃b∈G, b o a=e ∀ a ∈ G ,   ∃ b ∈ G ,   b   o   a = e

如果乘法“ o o ”满足交换律，即 a o b=b o a a   o   b = b   o   a ，则称群 G G 为交换群。
交换群又称阿贝尔群(Abel Group)。

群 (G,o) ( G , o ) 称为有限群，如果 G G 为有限集。G G 的基数称为群 G G 的阶。
order(G)=|G| o r d e r ( G ) = | G |

   
群的若干性质定理：
1. 设 (G,o) ( G , o ) 是一个群，则 ∀a∈G,a ∀ a ∈ G , a 的左逆元也是 a a 的右逆元。
el=all o ((al o a) o al)=(all o al) o (a o al)=a o al e l = a l l   o   ( ( a l   o   a )   o   a l ) = ( a l l   o   a l )   o   ( a   o   a l ) = a   o   a l
2. G G 的左幺元也是右幺元。
a o el=a o (a−1 o a)=(a o a−1) o a=el o a=a a   o   e l = a   o   ( a − 1   o   a ) = ( a   o   a − 1 )   o   a = e l   o   a = a
3. 群的两个定义等价。
i) i ) 幺半群，(任意元素)可逆。
ii) i i ) 半群，左幺元，(任意元素有)左逆元。
4. ∀a,b∈G,(a−1)−1=a,(ab)−1=b−1a−1 ∀ a , b ∈ G , ( a − 1 ) − 1 = a , ( a b ) − 1 = b − 1 a − 1
5. 对 ∀a,b∈G ∀ a , b ∈ G ，在群 G G 中，方程
ax=b,ya=b a x = b , y a = b 关于未知量 x x 与 y y 有唯一解。
6. 设 G G 是一个非空集合，“o o ” 是 G G 上的二元代数运算，
则 (G,o) ( G , o ) 构成一个群的充分必要条件是下列两个条件同时成立：
i) i ) “ o o ”满足结合律。
ii) i i ) 对 ∀a,b∈G,a o x=by o a=b ∀ a , b ∈ G , a   o   x = b y   o   a = b 在 G G 中有解且唯。
proof: 必要性显然。下证充分性：
k∈G,y o k=k k ∈ G , y   o   k = k 有唯一解，设为 e,e o k=k e , e   o   k = k
对于 ∀m∈G,k o x=m ∀ m ∈ G , k   o   x = m 有唯一解 ，设为 θ,m=k o θ θ , m = k   o   θ
于是， e o m=e o (k o θ)=(e o k) o θ=k o θ=m e   o   m = e   o   ( k   o   θ ) = ( e   o   k )   o   θ = k   o   θ = m
故存在左幺元，于是任意元素都有左逆元，因此 (G,o) ( G , o ) 构成一个群。
7. 群 G G 中的乘法满足消去律。
8. 设 G G 是一个非空有限集合，“ o o ” 是 G G 上的二元代数运算，
则 (G,o) ( G , o ) 构成一个群的充分必要条件是下列两个条件同时成立：
i) i ) “ o o ” 满足结合律。
ii) i i ) “ o o ” 满足左右消去律。
proof: 注意到 G→a o G G → a   o   G 为单射(于是双射)，故 a o x=b a   o   x = b 有唯一解，
由6可知 (G,o) ( G , o ) 构成一个群。

定义：阶
设 (G,o) ( G , o ) 是一个群， a∈G a ∈ G ，使 an=e a n = e 的最小正整数 n n 称为 a a 的阶。
如果这样的正整数不存在，则称 a a 的阶为无穷大。

定理：
有限群的每个元素的阶不超过有限群的阶。
(由抽屉原理即得)

定义：子群
设 (G,o) ( G , o ) 是一个群，设 S S 是 G G 的一个非空子集，
并且 (S,o) ( S , o ) 也构成一个群，则称 S S 是 G G 的子群。

性质：
子群的幺元也是群的幺元。
子群元素的逆也是该元素在群中的逆。

定理：
1. 群 G G 的子群的交还是 G G 的子群。
2. 群 G G 的非空子集 S S 是 G G 的子群的充分必要条件是：
∀a,b∈S, ∀ a , b ∈ S , 总有 ab−1∈S a b − 1 ∈ S
！！！
3. 群 G G 的非空子集 F F 是 G G 的子群的充分必要条件是：
F F 对于“ o o ”运算封闭。
proof: 抽屉原理

定义：
群 G G 的元素 a a 称为 群 G G 的中心元素，如果 a a 与 G G 的每个元素可交换。
G G 的所有中心元素的集合 C C 称为 G G 的中心。
定理：
群 G G 的中心 C C 是 G G 的可交换子群。

定义：
设 M M 是群 G G 的非空子集， G G 的所有包含 M M 的所有子群的交称为由 M M 生成的子群，记为 (M) ( M )
例： (a)={...,a−2,a−1,e,a1,a2,...} ( a ) = { . . . , a − 2 , a − 1 , e , a 1 , a 2 , . . . }

定义：同构
设 (G1,o)(G2,∗) ( G 1 , o ) ( G 2 , ∗ ) 是群，如果存在一个双射 ϕ:G1→G2 ϕ : G 1 → G 2 ，使得对于
∀a,b∈G1 ∀ a , b ∈ G 1 ，都有
ϕ(a o b)=ϕ(a)∗ϕ(b) ϕ ( a   o   b ) = ϕ ( a ) ∗ ϕ ( b )
则称群 G1 G 1 与 G2 G 2 同构，记为 G1≅G2 G 1 ≅ G 2 ，此时 ϕ ϕ 称为 G1 G 1 到 G2 G 2 同构。

定义：对称群
设 S S 是一个非空集合， sym(S) s y m ( S ) 是从 S S 到 S S 的双射构成的集合，按照映射的合成构成一个群，称为 S S 上的对称群。当 S={1,2,...,n} S = { 1 , 2 , . . . , n } 时，记 sym(S)=Sn,sym(S) s y m ( S ) = S n , s y m ( S ) 的任一子群称为 S S 上的一个变换群。 Sn S n 的任一子群称为置换群。

群的Cayley同构定理：
任何一个群都同构一个变换群。
推论：任何一个n阶有限群都同构与置换群 Sn S n 的一个n阶子群。

定义：自同构
设 (G,o) ( G , o ) 是群，如果存在一个双射 ϕ:G→G ϕ : G → G ，使得对于
∀a,b∈G1 ∀ a , b ∈ G 1 ，都有
ϕ(a o b)=ϕ(a) o ϕ(b) ϕ ( a   o   b ) = ϕ ( a )   o   ϕ ( b )
则称 ϕ ϕ 为 G G 的一个自同构。

例：四元群在同构意义下只有2个：
克莱因四元群 和 四元循环群

定义：设 G G 是一个群， G G 的所有自同构之集 A(G) A ( G ) 对映射的合成构成一个群，称为 G G 的自同构群。

定义：内自同构
由 G G 的元素 a a 所确定的自同构 ϕ(x)=axa−1 ϕ ( x ) = a x a − 1 称为 G G 的内自同构。

定义：
设 (G,o) ( G , o ) 是一个群，在 G G 上定义二元关系 R R 如下：对 ∀a,b∈G,aRb ∀ a , b ∈ G , a R b 当且仅当有 G G 的内自同构 ϕ ϕ ，使得 b=ϕ(a) b = ϕ ( a ) 。称二元关系 R R 为 G G 的共轭关系， a a 与 b b 共轭。

   
定义：循环群
群 G G 称为循环群，如果 G G 是由其中的某个元素 a a 生成的，即 (a)=G ( a ) = G

无穷循环群 G={...,a−2,a−1,e,a1,a2,...} G = { . . . , a − 2 , a − 1 , e , a 1 , a 2 , . . . } ( a a 的阶为无穷大)
有限n阶循环群 G={e,a,a2,...,an−1} G = { e , a , a 2 , . . . , a n − 1 } ( a a 的阶为n)

无穷循环群同构于 整数加法群 (Z,+) ( Z , + )
n阶有限循环群同构于 模n剩余类加法群 (Zn,+) ( Z n , + )

定理：
循环群 G=(a) G = ( a ) 称为循环群由 a a 生成，则：
1. 循环群的子群还是循环群。
2. 如果 G G 是无穷循环群，则 G G 的子群是 H0={e} H 0 = { e } ，或是某个具有最小正整数的元 m m 生成的。
即：H0={e}, Hm=(am)∀m∈N+ H 0 = { e } ,   H m = ( a m ) ∀ m ∈ N + 是 G G 的所有子群。
3. 无穷循环群中，除了 H0={e} H 0 = { e } 外，都是无穷循环子群，从而都同构于 G G 本身。
4. n阶循环群中，每个子群的阶整除n。对n的任一因子q，必有一个阶为q的子群。于是 G G 的全部子群为：
H0={e},  Hm=(am),  m|n H 0 = { e } ,     H m = ( a m ) ,     m | n

定义：陪集
设 H H 是群 G G 的一个子群，a为 G G 的元素。
集合 aH a H 称为子群 H H 的一个左陪集，Ha H a 称为子群 H H 的一个右陪集。
性质：对于 ∀a,b∈G ∀ a , b ∈ G
1. a∈H <=> aH=H a ∈ H   <=>   a H = H
2. a−1b∈H <=> aH=bH <=> Ha−1=Hb−1 a − 1 b ∈ H   <=>   a H = b H   <=>   H a − 1 = H b − 1
3. 要么 aH=bH a H = b H ，要么 aH∩bH=ϕ a H ∩ b H = ϕ (相交的陪集必重合)
4. |aH|=|bH|=|H| | a H | = | b H | = | H | (陪集的基数均相等)
5. H H 的所有左陪集的集族是 G G 的一个划分。
6. Sl S l 是 H H 的所有左陪集构成的集族， Sr S r 是 H H 的所有右陪集构成的集族，
则 |Sl|=|Sr| | S l | = | S r |
proof: 构造映射 φ:Sl→Sr , φ(aH)=Ha−1 φ : S l → S r   ,   φ ( a H ) = H a − 1

定义：
设 H H 是群 G G 的一个子群，若 H H 的所有不同的左陪集的个数为有限数 j j ，则称 j j 为 H H 在 G G 中的指数，记为 j=[G:H] j = [ G : H ] ，否则说 H H 在 G G 中的指数为无穷大。

拉格朗日定理：
设 G G 是一个N阶有限群， H H 是群 G G 的一个n阶子群，则
N=n⋅[G:H] N = n ⋅ [ G : H ]
proof : N=|G|=|⋃a∈G aH|=∑|aH|=|H|⋅[G:H]=n⋅[G:H] N = | G | = | ⋃ a ∈ G   a H | = ∑ | a H | = | H | ⋅ [ G : H ] = n ⋅ [ G : H ]

推论：
1. 有限群中每个元素的阶整除该有限群的阶。
δ(a)=|(a)| δ ( a ) = | ( a ) | ，而 |(a)| | ( a ) | 整除 |G| | G |
2. 如果群 G G 的阶 p p 为素数，则 G G 一定是循环群。
3. 设 G G 是N阶群，则对 ∀a∈G ∀ a ∈ G ，都有 aN=e a N = e

   
定理：
1. 设 A,B,C A , B , C 是群 G G 的子群，
则 (AB)C=A(BC) ( A B ) C = A ( B C )
2. 设 H H 是群 G G 的一个子群，
则 HH=H,H−1=H, H H = H , H − 1 = H ,
3. 设 A,B A , B 是群 G G 的子群，则 AB A B 是群 G G 的子群的充分必要条件是：
AB=BA A B = B A

定义：正规子群
设 H H 是群 G G 的一个子群，如果对 ∀a∈G, ∀ a ∈ G , 都有 aH=Ha, a H = H a ,
则称 H H 是 G G 的正规子群，记为 H⊲G H ⊲ G

定理：
设 H H 是群 G G 的一个子群，则下列3个命题等价：
1. H H 是 G G 的正规子群
2. 对 ∀a∈G,aHa−1=H ∀ a ∈ G , a H a − 1 = H
3. 对 ∀a∈G,aHa−1⊆H ∀ a ∈ G , a H a − 1 ⊆ H

定义：换位子群
对 ∀a,b∈G,aba−1b−1 ∀ a , b ∈ G , a b a − 1 b − 1 称为换位子，由所有换位子构成的子群称为换位子群。
性质：群 G G 的换位子群是正规子群。

定理：
H H 是 G G 的正规子群 当且仅当
对 G G 的任一内自同构 ϕ ϕ ，都有 ϕ(H)=H ϕ ( H ) = H

定理：
设 H H 是 G G 的正规子群，则 H H 的所有左陪集构成的集族 Sl S l 对子群的乘法构成一个群。
proof:
(aH)(bH)=a(Hb)H=ab(HH)=(ab)H ( a H ) ( b H ) = a ( H b ) H = a b ( H H ) = ( a b ) H
幺元为 H H ，元素 aH a H 的逆元素为 a−1H a − 1 H

定义：商群
群 G G 的正规子群 H H 的所有左陪集构成的集族对群子集的乘法构成的群称为 G G 对 H H 的商群，记为 G/H G / H

定义：同态
设 (G,o) ( G , o ) 和 (G¯¯¯¯,∗) ( G ¯ , ∗ ) 是两个群，如果存在一个从 G G 到 G¯¯¯¯ G ¯ 的映射 ϕ ϕ ，使得对 ∀a,b∈G, ∀ a , b ∈ G , 都有 ϕ(a o b)=ϕ(a) ∗ ϕ(b), ϕ ( a   o   b ) = ϕ ( a )   ∗   ϕ ( b ) , 则称 G G 与 G¯¯¯¯ G ¯ 同态，记为 G∼G¯¯¯¯。ϕ G ∼ G ¯ 。 ϕ 为一个从 G G 到 G¯¯¯¯ G ¯ 的同态映射，简称同态。(单，满，同构)

定理：
设 (G,o) ( G , o ) 和 (G¯¯¯¯,∗) ( G ¯ , ∗ ) 是两个群， ϕ ϕ 是一个从 G G 到 G¯¯¯¯ G ¯ 的同态，则对 ∀a∈G, ∀ a ∈ G , 都有 ϕ(a−1)=(ϕ(a))−1, ϕ(e)=e¯¯¯ ϕ ( a − 1 ) = ( ϕ ( a ) ) − 1 ,   ϕ ( e ) = e ¯

定理：
设 ϕ ϕ 是从 (G,o) ( G , o ) 到 (G¯¯¯¯,∗) ( G ¯ , ∗ ) 的满同态，则 e¯¯¯ e ¯ 的原像 ϕ−1(e¯¯¯) ϕ − 1 ( e ¯ ) 是群 G G 的正规子群。
proof: 封闭，可逆=>子群， aHa−1⊆H a H a − 1 ⊆ H

定义：同态核
设 ϕ ϕ 是从 (G,o) ( G , o ) 到 (G¯¯¯¯,∗) ( G ¯ , ∗ ) 的满同态，则 G G 的正规子像 ϕ−1(e¯¯¯) ϕ − 1 ( e ¯ ) 称为 ϕ ϕ 的同态核，记为 Ker(ϕ) K e r ( ϕ )

定理：
设 ϕ ϕ 是从 (G,o) ( G , o ) 到 (G¯¯¯¯,∗) ( G ¯ , ∗ ) 的 满同态，则
1. 如果 H⊆G, H ⊆ G , 那么 ϕ(H)⊆G¯¯¯¯ ϕ ( H ) ⊆ G ¯
2. 如果 H⊲G, H ⊲ G , 那么 ϕ(H)⊲G¯¯¯¯ ϕ ( H ) ⊲ G ¯
3. 如果 H¯¯¯¯¯⊆G¯¯¯¯, H ¯ ⊆ G ¯ , 那么 ϕ−1(H¯¯¯¯¯)⊆G ϕ − 1 ( H ¯ ) ⊆ G
4. 如果 H¯¯¯¯¯⊲G¯¯¯¯, H ¯ ⊲ G ¯ , 那么 ϕ−1(H¯¯¯¯¯)⊲G ϕ − 1 ( H ¯ ) ⊲ G

定理：
如果 N N 是 G G 的正规子群，则 G∼G/N G ∼ G / N