【数学基础】直线点法式方程表达

直线和坐标系可以画图为如图所示的形式：

直线$l$法线过原点，法线与直线相交于定点$P$，法线长度为$\rho$，法线方向矢量为$n$，法线和横轴夹角为$\theta$。根据参考资料，直线的“点法式”表达式为：
$$A(X-X_0)+B(Y-Y_0)=0$$

套用本图中，定点坐标为：

$$X_0=\rho \cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\theta ),{\mathrm{Y}}_0=\rho \cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\theta )$$
法向方向矢量：$A=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\theta )$，$B=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\theta )$，带入点法式公式中得：
$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\theta )\cdot (\mathrm{X}-\rho \cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\theta ))+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\theta )\cdot (\mathrm{Y}-\rho \cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\theta ))=0$$
化简得：
$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\theta )\cdot \mathrm{X}-\rho \cdot {\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^2(\theta )+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\theta )\cdot \mathrm{Y}-\rho \cdot {\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^2(\theta )=0$$
整理得：
$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\theta )\cdot \mathrm{X}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\theta )\cdot \mathrm{Y}=\rho$$
因此上式可以作为直线方程点法线的简化形式。