一文弄懂神经网络中的反向传播法

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

最近在看深度学习的东西,反向传播法其实是神经网络的基础了,但是很多人在学的时候总是会遇到一些问题,或者看到大篇的公式觉得好像很难就退缩了,其实不难,就是一个链式求导法则反复用。如果不想看公式,可以直接把数值带进去,实际的计算一下,体会一下这个过程之后再来推导公式,这样就会觉得很容易了。
 说到神经网络,大家看到这个图应该不陌生:
一文弄懂神经网络中的反向传播法_第1张图片
 这是典型的三层神经网络的基本构成,Layer L1是输入层,Layer L2是隐含层,Layer L3是输出层,我们现在手里有一堆数据{x1,x2,x3,…,xn},输出也是一堆数据{y1,y2,y3,…,yn},现在要他们在隐含层做某种变换,让你把数据灌进去后得到你期望的输出。如果你希望你的输出和原始输入一样,那么就是最常见的自编码模型(Auto-Encoder)。可能有人会问,为什么要输入输出都一样呢?有什么用啊?其实应用挺广的,在图像识别,文本分类等等都会用到,我会专门再写一篇Auto-Encoder的文章来说明,包括一些变种之类的。如果你的输出和原始输入不一样,那么就是很常见的人工神经网络了,相当于让原始数据通过一个映射来得到我们想要的输出数据,也就是我们今天要讲的话题。
 本文直接举一个例子,带入数值演示反向传播法的过程,公式的推导等到下次写Auto-Encoder的时候再写,其实也很简单,感兴趣的同学可以自己推导下试试:)(注:本文假设你已经懂得基本的神经网络构成,如果完全不懂,可以参考Poll写的笔记:[Mechine Learning & Algorithm] 神经网络基础)
  假设,你有这样一个网络层:
  一文弄懂神经网络中的反向传播法_第2张图片
  第一层是输入层,包含两个神经元i1,i2,和截距项b1;第二层是隐含层,包含两个神经元h1,h2和截距项b2,第三层是输出o1,o2,每条线上标的wi是层与层之间连接的权重,激活函数我们默认为sigmoid函数。
  现在对他们赋上初值:
     输入数据 i1=0.05,i2=0.10;
     输出数据 o1=0.01,o2=0.99;
     初始权重 w1=0.15,w2=0.20,w3=0.25,w4=0.30;
          w5=0.40,w6=0.45,w7=0.50,w8=0.55
  目标:给出输入数据[i1,i2]=[0.05,0.10],使输出尽可能与原始输出[o1,o2]=[0.01,0.99]接近。

Step 1 前向传播

1.输入层---->隐含层:

计算隐含层神经元h1的输入加权和:
一文弄懂神经网络中的反向传播法_第3张图片
神经元h1的输出outh1:(此处用到激活函数为sigmoid函数):
在这里插入图片描述
同理,可计算神经元h2的输出outh2
在这里插入图片描述

2.隐含层---->输出层:

计算输出层神经元o1的加权和neto1和输出outo1:  一文弄懂神经网络中的反向传播法_第4张图片
  同理输出层神经元o2的加权和neto2和输出outo2
在这里插入图片描述
这样前向传播的过程就结束了,我们得到输出值为[0.75136079 , 0.772928465],与实际值[0.01 , 0.99]相差还很远,现在我们对误差进行反向传播,更新权值,重新计算输出。

Step 2 反向传播

1.计算总误差

总误差:(square error)
一文弄懂神经网络中的反向传播法_第5张图片
但是有两个输出,所以分别计算o1和o2的误差,总误差为两者之和:
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

2.隐含层---->输出层的权值更新:

以权重参数w5为例,如果我们想知道w5对整体误差产生了多少影响,可以用整体误差对w5求偏导求出:(链式法则)
在这里插入图片描述
下面的图可以更直观的看清楚误差是怎样反向传播的:
一文弄懂神经网络中的反向传播法_第6张图片
现在我们来分别计算每个式子的值:
首先计算:一文弄懂神经网络中的反向传播法_第7张图片
一文弄懂神经网络中的反向传播法_第8张图片
再计算:在这里插入图片描述
一文弄懂神经网络中的反向传播法_第9张图片
(这一步实际上就是对sigmoid函数求导,比较简单,可以自己推导一下)

再计算:在这里插入图片描述
一文弄懂神经网络中的反向传播法_第10张图片
最后三者相乘:
一文弄懂神经网络中的反向传播法_第11张图片
这样我们就计算出整体误差Etotal对w5的偏导值。
回过头来再看看上面的公式,我们发现:
在这里插入图片描述
为了表达方便,用δ01来表示输出层的误差:
一文弄懂神经网络中的反向传播法_第12张图片
因此,整体误差Etotal对w5的偏导公式可以写成:
在这里插入图片描述
如果输出层误差计为负的话,也可以写成:
在这里插入图片描述
最后我们来更新w5的值:
在这里插入图片描述
(其中,η是学习速率,这里我们取0.5)
同理,可更新w6,w7,w8:
一文弄懂神经网络中的反向传播法_第13张图片

3.输入层---->隐含层的权值更新:

方法其实与上面说的差不多,但是有个地方需要变一下,在上文计算总误差对w5的偏导时,是从out(o1)---->net(o1)---->w5,但是在隐含层之间的权值更新时,是out(h1)---->net(h1)---->w1,而out(h1)会接受E(o1)和E(o2)两个地方传来的误差,所以这个地方两个都要计算。
一文弄懂神经网络中的反向传播法_第14张图片
方法其实与上面说的差不多,但是有个地方需要变一下,在上文计算总误差对w5的偏导时,是从out(o1)---->net(o1)---->w5,但是在隐含层之间的权值更新时,是out(h1)---->net(h1)---->w1,而out(h1)会接受E(o1)和E(o2)两个地方传来的误差,所以这个地方两个都要计算。
计算:
在这里插入图片描述
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