一文弄懂神经网络中的反向传播法

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

最近在看深度学习的东西，反向传播法其实是神经网络的基础了，但是很多人在学的时候总是会遇到一些问题，或者看到大篇的公式觉得好像很难就退缩了，其实不难，就是一个链式求导法则反复用。如果不想看公式，可以直接把数值带进去，实际的计算一下，体会一下这个过程之后再来推导公式，这样就会觉得很容易了。
　说到神经网络，大家看到这个图应该不陌生：

　这是典型的三层神经网络的基本构成，Layer L1是输入层，Layer L2是隐含层，Layer L3是输出层，我们现在手里有一堆数据{x1,x2,x3,…,xn},输出也是一堆数据{y1,y2,y3,…,yn},现在要他们在隐含层做某种变换，让你把数据灌进去后得到你期望的输出。如果你希望你的输出和原始输入一样，那么就是最常见的自编码模型（Auto-Encoder）。可能有人会问，为什么要输入输出都一样呢？有什么用啊？其实应用挺广的，在图像识别，文本分类等等都会用到，我会专门再写一篇Auto-Encoder的文章来说明，包括一些变种之类的。如果你的输出和原始输入不一样，那么就是很常见的人工神经网络了，相当于让原始数据通过一个映射来得到我们想要的输出数据，也就是我们今天要讲的话题。
　本文直接举一个例子，带入数值演示反向传播法的过程，公式的推导等到下次写Auto-Encoder的时候再写，其实也很简单，感兴趣的同学可以自己推导下试试：）（注：本文假设你已经懂得基本的神经网络构成，如果完全不懂，可以参考Poll写的笔记：[Mechine Learning & Algorithm] 神经网络基础）
　　假设，你有这样一个网络层：
　　
　　第一层是输入层，包含两个神经元i1，i2，和截距项b1；第二层是隐含层，包含两个神经元h1,h2和截距项b2，第三层是输出o1,o2，每条线上标的wi是层与层之间连接的权重，激活函数我们默认为sigmoid函数。
　　现在对他们赋上初值：
　　　　　输入数据 i1=0.05，i2=0.10;
　　　　　输出数据 o1=0.01,o2=0.99;
　　　　　初始权重 w1=0.15,w2=0.20,w3=0.25,w4=0.30;
　　　　　　　　　 w5=0.40,w6=0.45,w7=0.50,w8=0.55
　　目标：给出输入数据[i1,i2]=[0.05,0.10]，使输出尽可能与原始输出[o1,o2]=[0.01,0.99]接近。

Step 1 前向传播

1.输入层---->隐含层：

计算隐含层神经元h1的输入加权和：

神经元h1的输出out_h1:(此处用到激活函数为sigmoid函数)：

同理，可计算神经元h2的输出out_h2：

2.隐含层---->输出层：

计算输出层神经元o1的加权和net_o1和输出out_o1：　　
　　同理输出层神经元o2的加权和net_o2和输出out_o2：

这样前向传播的过程就结束了，我们得到输出值为[0.75136079 , 0.772928465]，与实际值[0.01 , 0.99]相差还很远，现在我们对误差进行反向传播，更新权值，重新计算输出。

Step 2 反向传播

1.计算总误差

总误差：(square error)

但是有两个输出，所以分别计算o1和o2的误差，总误差为两者之和：

2.隐含层---->输出层的权值更新：

以权重参数w5为例，如果我们想知道w5对整体误差产生了多少影响，可以用整体误差对w5求偏导求出：（链式法则）

下面的图可以更直观的看清楚误差是怎样反向传播的：

现在我们来分别计算每个式子的值：
首先计算：

再计算：

（这一步实际上就是对sigmoid函数求导，比较简单，可以自己推导一下）

再计算：

最后三者相乘：

这样我们就计算出整体误差E_total对w₅的偏导值。
回过头来再看看上面的公式，我们发现：

为了表达方便，用δ₀₁来表示输出层的误差：

因此，整体误差E_total对w₅的偏导公式可以写成：

如果输出层误差计为负的话，也可以写成：

最后我们来更新w5的值：

（其中，η是学习速率，这里我们取0.5）
同理，可更新w6,w7,w8:

3.输入层---->隐含层的权值更新：

方法其实与上面说的差不多，但是有个地方需要变一下，在上文计算总误差对w5的偏导时，是从out(o1)---->net(o1)---->w5,但是在隐含层之间的权值更新时，是out(h1)---->net(h1)---->w1,而out(h1)会接受E(o1)和E(o2)两个地方传来的误差，所以这个地方两个都要计算。

方法其实与上面说的差不多，但是有个地方需要变一下，在上文计算总误差对w5的偏导时，是从out(o1)---->net(o1)---->w5,但是在隐含层之间的权值更新时，是out(h1)---->net(h1)---->w1,而out(h1)会接受E(o1)和E(o2)两个地方传来的误差，所以这个地方两个都要计算。
计算：