Jaihk662

傅里叶级数与傅里叶变换

一、Games101 中出现的傅里叶变换(FT)的简单推导

到底什么是傅里叶变换：它的物理意义是什么，公式又从何而来？

以下的内容出现在 Games101 中的第八章：光栅化（深度测试与抗锯齿）

中，课程中这一部分大致介绍的内容是

任何周期函数都可以分解为无数个不同频率、不同幅值的正、余弦信号。和泰勒展开一样，这也是一种函数展开/逼近方案：即傅里叶级数展开，其中左边那一张 PPT 就是一个简单的例子

右侧则为傅里叶变换及其逆变换：它和傅里叶级数展开的概念是非常相似的

如果不了解傅里叶变换(FT)，可能会对视频中右边突如其来的内容非常陌生，只知道它用于将一个函数变成另一个函数，但是这个式子是怎么推导的，具体是什么变成什么可能就没有太多头绪

而这一章的内容，主要就是对上面内容的答疑解惑

1.1 前置1：三角函数系

三角函数系即包含所有不同周期的三角函数的集合

$\{0,1, \sin x, \cos x, \sin 2 x, \cos 2 x, \cdots, \sin n x, \cos n x\}$

其中三角函数拥有一个非常重要的性质：正交性

和向量垂直内积为0一样，两个函数内积 $\int_{x_0}^{x_1} f(x) g(x) d x=0$ 即两个函数正交，而对于上面的两个特例：即 m = n 的情况，其积分结果为 $\pi$

正是依赖这个特性，后续才可以任意函数中分离出指定频率的波形

1.2 前置2：三角函数的指数表示

3Blue1Brown 有一个视频很好的介绍了到底表达了什么，如果有兴趣的话可以直接去看：【官方双语】微分方程概论-第五章：在3.14分钟内理解e^iπ，搞懂这个之后，这一部分就可以直接跳过了

虚数 i 这个概念基本上只要上过高中的都知道，只不过大多数人对它的印象只剩下了一个公式：其余的就都不记得了，那么乘以虚数的意义又是什么呢？

如上图有三个线段线段，线段 AB 的长度是1：当它乘以2的时候，它的长度发生了变化，拉伸成了线段 EF，而当它乘以 -1 的时候，就变成了线段 CD，或者说代表着原线段在数轴上围绕原点旋转了 180°

既然乘以 -1 相当于旋转 180°，考虑到，那么是不是就可以理解为：乘以 i 就是旋转了 90°？

是的，不过到此如果只考虑一维的实数轴就不够用了，因此我们可以加一条垂直的虚数轴已构成一个复平面，这样我们就可以把虚数乘法也表示出来：即乘以实数表拉伸，乘以虚数表旋转

但是到这里还没有结束，要知道本章之所以要提到虚数 i，主要是为了解释后面出现的，以及经典的欧拉公式 $e^{i x}=\cos x+i \sin x$ ，可能就算你理解了虚数乘法，也未必能理解虚数作为指数意味着什么

一个事实是：其实很多时候某些东西单独看是没有意义的，只不过为了实现一些目的，我们后来的人们手动赋予了它意义，尽管你完全理解不了：是的它就是一个定义，数学家就是这么理解它的（当然其一定是有依据的，而不是乱来）

而虚数作为指数就是这么被“定义”出来的，其实它已经和正常我们理解的指数完全不是一个概念了，也就是说我们不能说就是连续 i 个 e 相乘，它是错误且没有意义的，事实上，它表达的是下面这个东西：

即 表示为单位线段旋转一定角度，这个角度对应的弧长为1，这个定义是根据复导数 $\frac{d}{d t} e^{i t}=i \cdot e^{i t}$ 反推出来的，当然具体细节就不再展开，有兴趣的话可以本节看上面引用的视频

知道这个后，两个著名的公式其实就不难理解了，你也可以瞬间化为数学家去把它们推出来：

$e^{i \pi}+1=0$
$e^{i x}=\cos x+i \sin x$

后面主要会用到的，其实就是的下面的公式

1.3 傅里叶级数的推导

好了，可以回来了前面的内容：任何周期函数都可以分解为无数个不同频率、不同幅值的正、余弦信号，不妨可以先考虑最简单的情况，也就是先保证周期 $T = 2\pi$ ，即 $f(x)=f(x+2 \pi)$

那么对于上面部分的数学表示，就有： $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n \cos n x+\sum_{n=0}^{\infty} b_n \sin n x$

，其中和都为常数项，然后有意思的就来了：有了这个级数表示，我们能不能得到一个左侧为的等式呢？

当然是可以的，就利用上面的三角函数的正交性求积分即可：

先计算最简单的：

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n \cos n x+\sum_{n=0}^{\infty} b_n \sin n x = a_0+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n x+\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n x$

两边积分有：

$\int_{-\pi}^\pi f(x) d x=\int_{-\pi}^\pi a_0 d x+\int_{-\pi}^\pi \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n x d x+\int_{-\pi}^\pi \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n x d x$

根据三角函数的正交性，可以知道后面两项看上去复杂，其实都为0，也就有：

$\int_{-\pi}^\pi f(x) d x=a_0 \int_{-\pi}^\pi d x=\left.a_0 x\right|_{-\pi} ^\pi=2 \pi a_0$

好了，到此结果显而易见了

接下来用同样的方法计算：不过这一次我们在两边同时积分之前，先全部乘上

$\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos m x d x= \\ \int_{-\pi}^\pi \frac{a_0}{2} \cos m x d x+\int_{-\pi}^\pi \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n x \cos m x d x+\int_{-\pi }^{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n x \cos mx d x \\$

一样根据三角函数的正交性，第一项和第三项为0：就有

$\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos m x d x=\int_{-\pi}^\pi \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n x \cos m x d x$

并且当前仅当 n = m 时，右侧的积分结果不为0，也就是说

$\int_{-\pi}^\pi f(n) \cos n x d x=\int_{-\pi}^\pi \operatorname{a_ncos} n x \cos n x d x=\operatorname{a_n} \int_{-\pi}^\pi \cos ^2 nx d x$

$a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x d x$

游戏结束，关于的计算同理

好了，到此就可以得到一个最基础的傅里叶级数形式：

对于满足周期 $T = 2\pi$ 的， $f(x)=f(x+2 \pi)$ ，有：

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)$

其中：

$\begin{aligned} &a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x d x \\ &b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin n x d x \end{aligned}$

1.3.1 任意周期函数的傅里叶级数

前面考虑的周期满足最简单的 $T = 2\pi$ ，现在在理解了上面内容的基础值之上，可以考虑去推导任意周期的通式

考虑周期，L 为任意值，也就是，那么就可以用换元法：

$f(t)=f\left(\frac{L}{\pi} x\right) \triangleq g(x)$ ，其中 $g(x)=g(x+2 \pi)$ ，满足前面的傅里叶变换的级数形式

那么此时就只需要把 $x=\frac{\pi}{L} t = wt$ 带入到前面的级数推导中，就可以得出任意周期函数的傅里叶级数形式：

$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n \omega t+b_n \sin n \omega t\right)$

其中：

$\begin{aligned} &a_n=\frac{2}{T} \int_0^T f(t) \cos n \omega dt \\ &b_n=\frac{2}{T} \int_0^T f(t) \sin n \omega dt \end{aligned}$

1.3.2 傅里叶级数的复数形式

好了转折点来了，现在我们把前面第二节的欧拉公式拿过来： $e^{i x}=\cos x+i \sin x$

这个依旧是可以逆推得到（因为离本章的主题比较远，这一部分的详细推导就略了）

将其带入前面的傅里叶级数 $f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n \omega t+b_n \sin n \omega t\right)$ 有

$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{2}a_n\left(e^{i n \omega t}+e^{-i nw t}\right)-\frac{1}{2} ib_n\left(e^{i n \omega t}-e^{-i n \omega t}\right)\right] \\ =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{a_n-i b_n}{2} e^{i n \omega t}+\frac{a_n+i b_n}{2} e^{-i n \omega t}\right] \\ =\sum_{n=0}^0 \frac{a_0}{2} e^{i n \omega t}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n} -ib_n}{2} e^{i n \omega t} + \sum_{n=-\infty}^{-1} \frac{a_{-n} + ib_{-n}}{2} e^{i n \omega t} \\$

到这你会发现，其实这三个求和公式对应的区间加在一起正是负无穷到正无穷，并且它们的项都是 $e^{i n \omega t}$ ，只是系数不同而已，因此可以直接将这三项整合起来得到：

$f(t)=\sum_{-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \omega t}$

其中：

$c_n= \begin{cases}\frac{a_0}{2}, & n=0 \\ \frac{a_n-i b_n}{2}, & n=1,2,3,4 \cdots \\ \frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2} & n=-1,-2,-3,-4 \cdots\end{cases}$

好了，到此就只剩下最后一步了：那就是把前面和的结果代进去，就有

$c_n=\frac{a_{n}-ib_{n}}{2} =\frac{1}{2}\left(\frac{2}{T} \int_0^T f(t) \cos n \omega t-i\frac{2}{T} \int_0^T f(t) \sin n \omega t\right) \\ =\frac{1}{T} \int_0^T f(t)(\cos n \omega t-i \sin n \omega t) d t$

仔细看，右边像不像欧拉公式 $e^{i x}=\cos x+i \sin x$ ？此时配合奇函数偶函数的积分性质，就可以得出 $c_n =\frac{1}{T} \int_0^T f(t) e^{-i n \omega t} d t$

而对于其它情况例如 $c_n =\frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2}$ 的推导，你也会得到一个完全相同的结果，可以说是非常的妙，到此为止，我们就得到了一个完美的傅里叶级数复数形式：

对于周期为 T 的函数，有：

$c_n =\frac{1}{T} \int_0^T f(t) e^{-i n \omega t} d t$ ， $w_0 = \frac{2\pi}{T}$
$f(t)=\sum_{-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \omega t}$

通过等式①，我们可以对一段函数进行滤波，把指定频率的波段/信号给筛出来

1.4 非周期函数傅里叶变换推导

休息一会再来，前面对于，我们求得了他为周期函数情况下的傅里叶级数展开，现在尝试求出真正的“通解”：即任意的傅里叶变换

照应开头，主角要登场了！

1.4.1 时域与频域

这里强烈推荐一篇文章：傅里叶分析之掐死教程（完整版），里面关于频域与时域的介绍非常形象，并且和本文长篇的公式推导不同，里面基本不含任何复杂的数学公式，如果看多了 LaTex 换个心情也是可以的

还是那个周期为 T 的函数，如果我们画出对应的函数图像，横轴为 t，纵轴为，那么这个图像就是标准的时域图像，其中横轴变量 t 就代表着时间(Time)

然后就是傅里叶级数：

$c_n =\frac{1}{T} \int_0^T f(t) e^{-i n \omega t} d t$ ， $w_0 = \frac{2\pi}{T}$
$f(t)=\sum_{-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \omega t}$

对于第②个式子，真正能决定最终函数结果的其实是其中的系数，而后面的 $e^{i n \omega t}$ 其实是一种规则，代表着不同频率的波

因此，有另一个函数图像也可以用于表示，其横轴为 $n \omega$ ，纵轴为对应的常量，这便是的标准频域图像，该函数也被称为频谱函数，正好是上面的第①个式子，其中横轴 $n \omega$ 对应着频率，而纵轴就对应着该频率的波的幅值

如果要更准确的说法，常量系数应该是一个复数，因为不止考虑幅值，还应考虑相位，不过我觉得这篇文章作为科普性质的话，讲这个稍微有点超纲了，所以只需要尝试去理解下就好，后面就默认只考量幅值

对于周期 T 有限的情况下， $n \omega$ 的结果是离散的，因此对于周期函数的频域图像，其更像是一个冲激函数图像，即只可能会在横轴坐标为 $\{0,w, 2w, 3w, \cdots, nw\}$ 的位置下出现非0的结果

将频域图像和时域图像联系起来，就是下面这个样子（该图片来源于维基百科）：

从频域图中也可以看出，周期函数 T 越大，对应的 w 越小，冲激函数的图像就越加密集，而对于非周期函数 T，其实也可以理解为 T 无穷大，此时对应的频率 w 无穷小，频域图像就看上去是连续的了：

同理，如果拉伸的时域图像，那么其频域图像则会被压扁

1.4.2 傅里叶变换的最终形式

基频 $w_0 = \frac{2\pi}{T}$ 相当于周期函数的傅里叶级数中两个相邻频率的差值 $(n+1) \omega_0-n \omega_0$ ，当周期 T 无穷大时，我们可以把它记作 $d\omega$ 或 $\Delta \omega$ ，这样就得到了针对非周期函数的频谱函数：

$c_n=\frac{\Delta \omega}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i w t} d t$

此时趋近于0，意义不大，但是我们可以将其带入到上面②式 $f(t)=\sum_{-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \omega t}$ 就有

$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left(\frac{\Delta \omega}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega t} d t\right) e^{in \omega t}= \frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega t} d t\right) e^{i \omega t} d \omega$

其中，傅里叶变换(FT) 即

$F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega t} d t$ ，用频率来描述就是 $F(f)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i 2{\pi}f t} d t$

对于 $f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{i \omega t} d \omega$ ，则为傅里叶变换的逆变换

是的，其实本质上 $c_n=\frac{\Delta \omega}{2 \pi} F(\omega)$ ， $F(\omega)$ 即信号幅值在频域中的分布密度

如果文字和公式不好理解，那就上图：

对于的部分图像如上，那么该部分转成复数形式的 $f(t) e^{-i \omega t}$ 图像就为下（其中 $w=\frac{2\pi}{5}$ ，其取值越小，整体复平面下的图像就越“拥挤”，即这里的对应的是下图中的“转速”（0.2圈/秒），而非函数的频率）

而很明显，我们最后对上面结果求得的积分，就是对这张图像无限延伸的版本中的无数个点对应的向量做加和，想象一下最终加和结果是什么样子的：

由于 $w=\frac{2\pi}{5}$ ，只有时域周期满足的波形，最终得出的傅里叶变换结果不为0（左下图），并且会随着积分上下限的提高，得出的结果也越来越大，其余波形成的缠绕图像都会在复平面上均匀展开，从而得出0或者接近0的结果（右下图），从这也可以看出傅里叶变换滤波的特性

好了，到此就完成了最前面右边那张 PPT 中的内容的推导，是不是还是挺简单的

当然也有可能看懂了推导过程，最后还是有疑问：折腾了这么久，傅立叶变换到底有什么意义和实际应用呢？不着急，到这里还只是一个开始，路还很长很长

1.4.3 一个形象的解释，为什么梳状函数的频域图像仍然是个梳状函数

以下图片同样节选自 Games101 中的第八章：光栅化（深度测试与抗锯齿）

左侧为梳状函数的时域图像

考虑到对于如上的冲激函数序列（即梳状函数）画出其指数空间下的图像

这个图像的性质就是：所有图像中的点都会遍布在单位圆上，并且脉冲信号越密或者采样时间越长，点在圆上的排列也越密，很好看出来：经过无穷时间后，所有的点就会汇集成一个标准的圆，此时做采样积分，最后得出的结果一定是无限接近于0的，但是只有一种情况特殊，那就是转速(s/circle)刚好和脉冲间隔完全一致或者说后者是前者的整数倍：此时所有的点都会落到图中的 (1, 0) 坐标上

因此，梳状函数的频域图像就也会是一段段脉冲信号的重复

其它参考：

快速理解FFT算法（完整无废话）
一小时学会快速傅里叶变换
【官方双语】形象展示傅里叶变换
快速傅里叶变换（FFT）超详解

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二次剩余问题x的求解及代码实现（python） JustGo12 数论安全 1024程序员节
一、问题引入二次剩余是数论基本概念之一。它是初等数论中非常重要的结果，不仅可用来判断二次同余式是否有解，还有很多用途。C.F.高斯称它为算术中的宝石，他一人先后给出多个证明。[1]研究二次剩余的理论称为二次剩余理论。二次剩余理论在实际上有广泛的应用，包括从噪音工程学到密码学以及大数分解。即关于方x^2≡a(modp)对于这个方程，求出满足条件的x。二、x的求解在上述问题下，根据p值的不同性质，可以
【数论】exgcd 扩展欧几里得算法 Texcavator 数论算法
参考：exgcd详解-zzt1208-博客园(cnblogs.com)exgcd（扩展欧几里得算法），用来求形如ax+by=gcd(a,b)ax+by=gcd(a,b)ax+by=gcd(a,b)（a,ba,ba,b为常数）的方程的一组整数解。（如果不确定等号右边是不是gcd，可以先当做gcd，求出来之后验证，是的话就是解，不是的话就不是解）推导见上面的链接，这篇只放个板子codeintexgcd
2021-07-30 RX-0493
学了一会数论，好难1.乘法逆元：a/b%p,若a/b在进行取模运算时，会出现精度问题，而且模运算对除法不适用，（没有分配律，大概就这意思）而求出乘法逆元后，可以把原式变为a*x%p的形式，且值不变。a*x≡1（modp）中，a,p为已知量，则x为a的乘法逆元。例题：乘法逆元设p=k*i+r,(1usingnamespacestd;constintN=20000530;intn,p,inv[N];i
同余数论性质 clmm_ 算法
同余概念当a%m==b%m，说明a和b同余，写作若a≡b(modm)性质衍生出几条性质1.m|abs(a-b)，即|a-b|是m的倍数。（注意，0是任何数的倍数）2.当a≡b(modm)，c≡d(modm)，有ac≡bd(modm)有a+c≡b+d(modm)有a-c≡b-d(modm)证明如下
读《爱心与教育》第八天皮_小皮
作为一名教师，尤其是班主任老师，“培优转差”是教育工作的一项重要内容，读了李镇西老师的《爱心与教育》，自己受到不小的启发，对“优生”的培养和后进生的转化有了新的认识和思考。对“优生”的重新认识——李老师说：“优生”当然应该是指品学兼优的学生，但在现在不少教师、家长的眼中，所谓“优生”更多的是指学习成绩拔尖的学生（即尖子生）。的确，在升学竞争和应试教育的大环境下，很多教育者都以分数论英雄，对“优生”
RSA算法 superdont 图像加密算法 java 服务器
RSA算法是一个非对称加密算法，它依赖于数论中的大整数因数分解问题的困难性。在RSA中，加密和解密使用不同的密钥，分别称为公钥和私钥。RSA算法的基本原理包括以下几个步骤：密钥生成：a.选择两个大的质数(p)和(q)。b.计算它们的乘积(n=pq)，n的长度就是密钥长度。c.计算欧拉函数(\phi(n)=(p-1)(q-1))。d.选择一个整数(e)，使得(1
日精进110天金八力韩英雪
敬爱的老师，智慧的班主任，亲爱的跃友们：大家好！我是来自山峰教外教育的韩英雪，今天是我的日精进行动第110天，给大家分享我今天的进步，我们互相勉励，携手前行。每天进步一点点，距离成功便不远。1、比学习:个体身心发展的规律。顺序性，阶段性，不平衡性，互补性，个别差异性和整体性。个体身心发展的能动动因主要由内发论，外数论多因素互相作用论。其中内发论的代表人物包括孟子，弗洛伊德，威尔逊，格赛尔，霍尔等外
[C语言]Day04作业：输出菱形,判断水仙花数,输出a = aaaaa MrDorli C语言学习 c语言
/*1.在屏幕上输出以下图案：*************************************************************************************2.求出0～999之间的所有“水仙花数”并输出。“水仙花数”是指一个三位数，其各位数字的立方和确好等于该数本身，如；153＝1＋5＋3?，则153是一个“水仙花数”。在数论中，水仙花数（Narciss
信安数基2-同余方程利賀田
基本概念及一次同余式同余式是数论的基本概念之一，设m是给定的一个正整数，a、b是整数，若满足m|(a-b)，则称a与b对模m同余，记为a≡b(modm)，或记为a≡b(m)。这个式子称为模m的同余式，若m∤(a-b)，则称a、b对模m不同余，同余概念又常表达为：1.a=b+km(k∈Z)；2.a和b被m除时有相同的[余数]。同余式的记号由高斯(Gauss,C.F.)于1800年首创,发表在他的数论
【数论】矩阵快速幂 Texcavator 数论矩阵算法数据结构
参考：P3193[HNOI2008]GT考试题解放个板子structMartix{inta[30][30];//在这里修改矩阵的大小Martix(){memset(a,0,sizeof(a));}Martixoperator*(constMartix&B)const//乘法运算符重载{Martixres;for(inti=0;i>=1;a=a*a;}returnans;}
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mysql高级特性之数据分区 annan211 java 数据结构 mongodb 分区 mysql
mysql高级特性 1 以存储引擎的角度分析，分区表和物理表没有区别。是按照一定的规则将数据分别存储的逻辑设计。器底层是由多个物理字表组成。 2 分区的原理分区表由多个相关的底层表实现，这些底层表也是由句柄对象表示，所以我们可以直接访问各个分区。存储引擎管理分区的各个底层表和管理普通表一样(所有底层表都必须使用相同的存储引擎)，分区表的索引只是
JS采用正则表达式简单获取URL地址栏参数 chiangfai js 地址栏参数获取
GetUrlParam:function GetUrlParam(param){ var reg = new RegExp("(^|&)"+ param +"=([^&]*)(&|$)"); var r = window.location.search.substr(1).match(reg); if(r!=null
怎样将数据表拷贝到powerdesigner (本地数据库表) Array_06 powerDesigner
================================================== 1、打开PowerDesigner12，在菜单中按照如下方式进行操作 file->Reverse Engineer->DataBase 点击后，弹出 New Physical Data Model 的对话框 2、在General选项卡中 Model name:模板名字，自
logbackのhelloworld 飞翔的马甲日志 logback
一、概述 1.日志是啥？当我是个逗比的时候我是这么理解的：log.debug()代替了system.out.print(); 当我项目工作时，以为是一堆得.log文件。这两天项目发布新版本，比较轻松，决定好好地研究下日志以及logback。传送门1：日志的作用与方法： http://www.infoq.com/cn/articles/why-and-how-log 上面的作
新浪微博爬虫模拟登陆随意而生新浪微博
转载自：http://hi.baidu.com/erliang20088/item/251db4b040b8ce58ba0e1235 近来由于毕设需要，重新修改了新浪微博爬虫废了不少劲，希望下边的总结能够帮助后来的同学们。现行版的模拟登陆与以前相比，最大的改动在于cookie获取时候的模拟url的请求
synchronized 香水浓 java thread
Java语言的关键字，可用来给对象和方法或者代码块加锁，当它锁定一个方法或者一个代码块的时候，同一时刻最多只有一个线程执行这段代码。当两个并发线程访问同一个对象object中的这个加锁同步代码块时，一个时间内只能有一个线程得到执行。另一个线程必须等待当前线程执行完这个代码块以后才能执行该代码块。然而，当一个线程访问object的一个加锁代码块时，另一个线程仍然
maven 简单实用教程 AdyZhang maven
1. Maven介绍 1.1. 简介 java编写的用于构建系统的自动化工具。目前版本是2.0.9，注意maven2和maven1有很大区别，阅读第三方文档时需要区分版本。 1.2. Maven资源见官方网站；The 5 minute test，官方简易入门文档；Getting Started Tutorial，官方入门文档；Build Coo
Android 通过 intent传值获得null aijuans android
我在通过intent 获得传递兑现过的时候报错，空指针,我是getMap方法进行传值，代码如下 1 2 3 4 5 6 7 8 9 public void getMap(View view){ Intent i =
apache 做代理报如下错误：The proxy server received an invalid response from an upstream baalwolf response
网站配置是apache＋tomcat,tomcat没有报错，apache报错是： The proxy server received an invalid response from an upstream server. The proxy server could not handle the request GET /. Reason: Error reading fr
Tomcat6 内存和线程配置 BigBird2012 tomcat6
1、修改启动时内存参数、并指定JVM时区（在windows server 2008 下时间少了8个小时）在Tomcat上运行j2ee项目代码时，经常会出现内存溢出的情况，解决办法是在系统参数中增加系统参数： window下，在catalina.bat最前面 set JAVA_OPTS=-XX:PermSize=64M -XX:MaxPermSize=128m -Xms5
Karam与TDD bijian1013 Karam TDD
一.TDD 测试驱动开发（Test-Driven Development,TDD）是一种敏捷（AGILE）开发方法论，它把开发流程倒转了过来，在进行代码实现之前，首先保证编写测试用例，从而用测试来驱动开发（而不是把测试作为一项验证工具来使用）。 TDD的原则很简单： a.只有当某个
[Zookeeper学习笔记之七]Zookeeper源代码分析之Zookeeper.States bit1129 zookeeper
public enum States { CONNECTING, //Zookeeper服务器不可用，客户端处于尝试链接状态 ASSOCIATING, //？？？ CONNECTED, //链接建立，可以与Zookeeper服务器正常通信 CONNECTEDREADONLY, //处于只读状态的链接状态，只读模式可以在
【Scala十四】Scala核心八：闭包 bit1129 scala
Free variable A free variable of an expression is a variable that’s used inside the expression but not defined inside the expression. For instance, in the function literal expression (x: Int) => (x
android发送json并解析返回json ronin47 android
package com.http.test; import org.apache.http.HttpResponse; import org.apache.http.HttpStatus; import org.apache.http.client.HttpClient; import org.apache.http.client.methods.HttpGet; import
一份IT实习生的总结 brotherlamp PHP php资料 php教程 php培训 php视频
今天突然发现在不知不觉中自己已经实习了 3 个月了，现在可能不算是真正意义上的实习吧，因为现在自己才大三，在这边撸代码的同时还要考虑到学校的功课跟期末考试。让我震惊的是，我完全想不到在这 3 个月里我到底学到了什么，这是一件多么悲催的事情啊。同时我对我应该 get 到什么新技能也很迷茫。所以今晚还是总结下把，让自己在接下来的实习生活有更加明确的方向。最后感谢工作室给我们几个人这个机会让我们提前出来
据说是2012年10月人人网校招的一道笔试题-给出一个重物重量为X,另外提供的小砝码重量分别为1，3，9。。。3^N。将重物放到天平左侧，问在两边如何添加砝码 bylijinnan java
public class ScalesBalance { /** * 题目： * 给出一个重物重量为X,另外提供的小砝码重量分别为1，3，9。。。3^N。（假设N无限大，但一种重量的砝码只有一个） * 将重物放到天平左侧，问在两边如何添加砝码使两边平衡 * * 分析： * 三进制 * 我们约定括号表示里面的数是三进制，例如 47=(1202
dom4j最常用最简单的方法 chiangfai dom4j
要使用dom4j读写XML文档,需要先下载dom4j包,dom4j官方网站在 http://www.dom4j.org/目前最新dom4j包下载地址:http://nchc.dl.sourceforge.net/sourceforge/dom4j/dom4j-1.6.1.zip 解开后有两个包,仅操作XML文档的话把dom4j-1.6.1.jar加入工程就可以了,如果需要使用XPath的话还需要
简单HBase笔记 chenchao051 hbase
一、Client-side write buffer 客户端缓存请求描述：可以缓存客户端的请求，以此来减少RPC的次数，但是缓存只是被存在一个ArrayList中，所以多线程访问时不安全的。可以使用getWriteBuffer()方法来取得客户端缓存中的数据。默认关闭。二、Scan的Caching 描述： next( )方法请求一行就要使用一次RPC,即使
mysqldump导出时出现when doing LOCK TABLES daizj mysql mysqdump 导数据
　　执行　mysqldump -uxxx -pxxx -hxxx -Pxxxx database tablename > tablename.sql　导出表时，会报 mysqldump: Got error: 1044: Access denied for user 'xxx'@'xxx' to database 'xxx' when doing LOCK TABLES 解决
CSS渲染原理 dcj3sjt126com Web
从事Web前端开发的人都与CSS打交道很多，有的人也许不知道css是怎么去工作的，写出来的css浏览器是怎么样去解析的呢？当这个成为我们提高css水平的一个瓶颈时，是否应该多了解一下呢？一、浏览器的发展与CSS
《阿甘正传》台词 dcj3sjt126com
Part Ⅰ: 《阿甘正传》Forrest Gump经典中英文对白 Forrest: Hello! My names Forrest. Forrest Gump. You wanna Chocolate? I could eat about a million and a half othese. My momma always said life was like a box ochocol
Java处理JSON dyy_gusi json
Json在数据传输中很好用，原因是JSON 比 XML 更小、更快，更易解析。在Java程序中，如何使用处理JSON，现在有很多工具可以处理，比较流行常用的是google的gson和alibaba的fastjson，具体使用如下： 1、读取json然后处理 class ReadJSON { public static void main(String[] args)
win7下nginx和php的配置 geeksun nginx
1. 安装包准备 nginx : 从nginx.org下载nginx-1.8.0.zip php：从php.net下载php-5.6.10-Win32-VC11-x64.zip， php是免安装文件。 RunHiddenConsole: 用于隐藏命令行窗口 2. 配置 # java用8080端口做应用服务器，nginx反向代理到这个端口即可 p
基于2.8版本redis配置文件中文解释 hongtoushizi redis
转载自： http://wangwei007.blog.51cto.com/68019/1548167 在Redis中直接启动redis-server服务时, 采用的是默认的配置文件。采用redis-server xxx.conf 这样的方式可以按照指定的配置文件来运行Redis服务。下面是Redis2.8.9的配置文
第五章常用Lua开发库3-模板渲染 jinnianshilongnian nginx lua
动态web网页开发是Web开发中一个常见的场景，比如像京东商品详情页，其页面逻辑是非常复杂的，需要使用模板技术来实现。而Lua中也有许多模板引擎，如目前我在使用的lua-resty-template，可以渲染很复杂的页面，借助LuaJIT其性能也是可以接受的。如果学习过JavaEE中的servlet和JSP的话，应该知道JSP模板最终会被翻译成Servlet来执行；而lua-r
JZSearch大数据搜索引擎颠覆者 JavaScript
系统简介：大数据的特点有四个层面：第一，数据体量巨大。从TB级别，跃升到PB级别；第二，数据类型繁多。网络日志、视频、图片、地理位置信息等等。第三，价值密度低。以视频为例，连续不间断监控过程中，可能有用的数据仅仅有一两秒。第四，处理速度快。最后这一点也是和传统的数据挖掘技术有着本质的不同。业界将其归纳为4个“V”——Volume，Variety，Value，Velocity。大数据搜索引
10招让你成为杰出的Java程序员 pda158 java 编程框架
如果你是一个热衷于技术的 Java 程序员，那么下面的 10 个要点可以让你在众多 Java 开发人员中脱颖而出。　　 1. 拥有扎实的基础和深刻理解 OO 原则　　对于 Java 程序员，深刻理解 Object Oriented Programming（面向对象编程）这一概念是必须的。没有 OOPS 的坚实基础，就领会不了像 Java 这些面向对象编程语言
tomcat之oracle连接池配置小网客 oracle
tomcat版本7.0 配置oracle连接池方式：修改tomcat的server.xml配置文件： <GlobalNamingResources> <Resource name="utermdatasource" auth="Container" type="javax.sql.DataSou
Oracle 分页算法汇总 vipbooks oracle sql 算法 .net
这是我找到的一些关于Oracle分页的算法，大家那里还有没有其他好的算法没？我们大家一起分享一下！ -- Oracle 分页算法一 select * from ( select page.*,rownum rn from (select * from help) page -- 20 = (currentPag