李宏毅2017机器学习课程 回归

李宏毅2017机器学习课程 P3 回归 Regression

• 下文不区分w和ω（
  

回归定义

• 找到一个函数function，通过输入特征x，输出一个数值scalar

举例:Pokemon精灵攻击力预测(Combat Power of a Pokemon)

李宏毅老师真是太有趣了哈哈哈哈

• 输入：进化前的CP值、物种（Bulbasaur)、血量（HP）、重量（Weight）、高度（Height）

• 输出：进化后的CP值

模型步骤

1. 模型假设，选择模型框架（线性模型）
2. 模型评估，如何判断众多模型的好坏（损失函数）
3. 模型优化，如何筛选最优的模型（梯度下降）

Step1：模型假设-线性模型

一元线性模型（单个特征）

• 以一个特征$x_{cp}$为例，线性模型假设 $y=b+w\cdot x_{cp}$ ，所以 $\omega$ 和 $b$ 可以猜测很多模型，比如

  $$\begin{gathered} f_1:y=10.0+9.0\cdot x_{cp} \\ {f}_2:y=9.8+9.2\cdot x_{cp} \\ {f}_3:y=-0.8-1.2\cdot x_{cp}\cdot \cdot \cdot \end{gathered}$$

• 虽然可以做出很多假设，但在这个例子中，显然 $f_3:y=-0.8-1.2\cdot x_{cp}$ 的假设是不合理的，不能进化后CP值是个负值吧~~

多元线性模型（多个特征）

• 在实际应用中，输入特征肯定不止 $x_{cp}$ 这一个。例如，进化前的CP值、物种（Bulbasaur）、血量（HP）、重量（Weight）、高度（Height）等，特征会有很多

  • 所以我们假设 线性模型 Linear model：$y=b+\sum w_i{x}_i$

  • $x_i$：就是各种特征(fetrure) $x_{cp},x_{hp},x_w,x_h,\cdot \cdot \cdot$

  • ${\omega }_i$：各个特征的权重 ${\omega }_{cp},{\omega }_{hp},{\omega }_w,{\omega }_h,\cdot \cdot \cdot$

  • $b$：偏移量

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注意：接下来的内容需要看清楚是【单个特征】还是【多个特征】的示例

Step2：模型评估-损失函数

【单个特征】: $x_{cp} $

收集和查看训练数据

• 这里定义 $x^1$ 是进化前的CP值，${\hat{y}}^1$ 进化后的CP值，$\hat{}$ 所代表的是真实值

  

• 将10组原始数据在二维图中展示，图中的每一个点 $(x_{cp}^n,\hat{y}n) $ 对应着进化前的CP值 和 进化后的CP值

如何判断众多模型的好坏

• 有了这些真实的数据，那我们怎么衡量模型的好坏呢？从数学的角度来讲，我们使用距离。求【进化后的CP值】与【模型预测的CP值】差，来判定模型的好坏。也就是使用损失函数（Loss function） 来衡量模型的好坏，统计10组原始数据 $\left ( \hat{y}^n - f(x_{cp}^n) \right )^2 $ 的和，和越小模型越好。如下图所示：

  

$$\begin{array}{rl}L(f)& =\sum _{n=1}^{10}({\hat{y}}^n-f(x_{cp}^n){)}^2,将[f(x)=y],[y=b+w\cdot x_{cp}]代入\\ & =\sum _{n=1}^{10}({\hat{y}}^n-(b+w\cdot x_{cp}){)}^2\end{array}$$

• 最终定义 损失函数 Loss function：

  

  $$L(w,b)=\sum _{n=1}^{10}{\left({\hat{y}}^n-(b+w\cdot x_{cp})\right)}^2$$

• 图中每一个点代表着一个模型对应的 $w$ 和 $b$

Step 3：最佳模型 - 梯度下降

• 目标：筛选最优模型（参数$\omega ，b$）

• 对上图的解释：

  已知损失函数是
  $$L(w,b)=\sum _{n=1}^{10}{\left({\hat{y}}^n-(b+w\cdot x_{cp})\right)}^2$$
  需要找到一个令结果$L(f)$最小的$f$,记作 $f^{\ast }$，或者说使得结果最小的$w$和$b$，记作$w^{\ast },b^{\ast }$

解决单个参数

• 如何筛选：梯度下降
  

• 学习率 ：移动的步长，如图中 $\eta$

1. 先随机选取一个初始点${\omega }^0$

2. 计算$\frac{dL}{dw}{|}_{w=w^0}$

   更新$\omega$，前面是要乘以一个-$\eta$

   • 当前斜率大于0，减少w的值
   • 斜率小于0，增加w的值

3. 根据学习率移动

4. 重复2和3
   

   步骤1中，我们随机选取一个 $w^0$，如上图所示，我们有可能会找到当前的最小值（局部最优），并不是全局的最小值，这里我们保留这个疑问，后面解决。

loss function L is convex（凸函数）

解决两个参数

• 解释完单个模型参数$\omega$，引入2个模型参数 $\omega$ 和 $b$ ， 其实过程是类似的，需要做的是偏微分，过程如下图

• 引入算子
  

梯度下降推演最优模型的过程

• 每一条线围成的圈就是等高线，代表损失函数的值，颜色约深的区域代表的损失函数越小

  想到了高中电场学的等势线，电场线方向是电势降低最快的方向， 电场强度是电势的负梯度

  把上面那个轨迹看成电荷挺好玩的，它在寻求低势

• 红色的箭头代表等高线的法线方向

梯度下降算法在现实世界中面临的挑战

• 我们通过梯度下降gradient descent不断更新损失函数的结果，这个结果会越来越小，那这种方法找到的结果是否都是正确的呢？前面提到的当前最优问题外，还有没有其他存在的问题呢？

  

  其实还会有其他的问题：

  • 问题1：当前最优（Stuck at local minima）

  • 问题2：等于0（Stuck at saddle point）

  • 问题3：趋近于0（Very slow at the plateau）

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注意：其实在线性模型里面都是一个碗的形状（山谷形状），梯度下降基本上都能找到最优点（不会stuck at local minima），但是再其他更复杂的模型里面，就会遇到 问题2 和 问题3 了

w和b偏微分的计算方法

如何验证训练好的模型的好坏

• 使用训练集和测试集的平均误差来验证模型的好坏 我们使用将10组原始数据，训练集求得平均误差为31.9，如图所示：

• 然后再使用10组Pokemons测试模型，测试集求得平均误差为35.0 如图所示：

• 此时，模型还需要优化，需要一个更复杂的model

更强大复杂的模型：1元N次线性模型

• 在模型上，我们还可以进一步优化，选择更复杂的模型，使用1元2次方程举例，还是根据training data，利用gradient descent，求出best function

• 求出best function之后，来验证模型的好坏，发现训练集求得平均误差为15.4，测试集的平均误差为18.4

• leeml notes

考虑更复杂的模型，过拟合问题出现

在模型上，我们再可以进一部优化，使用更高次方的模型，如图所示

• 训练集平均误差【15.4】【15.3】【14.9】【12.8】

• 测试集平均误差【18.4】【18.1】【28.8】【232.1】

在训练集上面表现更为优秀的模型，为什么在测试集上效果反而变差了？这就是模型在训练集上过拟合的问题

• 如图所示，每一个模型结果都是一个集合，5次模型 $\supseteq$ 4次模型 $\supseteq$ 3次模型

  • 将错误率结果图形化展示，发现3次方以上的模型，已经出现了过拟合的现象：

- 选择3次的目前较为合理

步骤优化

• 输入更多Pokemons数据，相同的起始CP值，但进化后的CP差距竟然是2倍。如图，其实将Pokemons种类通过颜色区分，就会发现Pokemons种类是隐藏得比较深的特征，不同Pokemons种类影响了进化后的CP值的结果

Step1优化：2个input的四个线性模型是合并到一个线性模型中

• 通过对 Pokemons种类判断，将 4个线性模型合并到一个线性模型中

• 不同种类的宝可梦，参数不一样，按这个思路来考虑

  error如下 训练数据3.8 测试数据14.3

Step2优化：如果希望模型更强大表现更好（更多参数，更多input）

• 在最开始我们有很多特征，图形化分析特征，将血量（HP）、重量（Weight）、高度（Height）也加入到模型中

  

• 弄一个function

更多特征，更多input，数据量没有明显增加，仍旧导致overfitting

Step3优化：加入正则化（regularization）

• 更多特征，但是权重 $w$可能会使某些特征权值过高，仍旧导致overfitting，所以加入正则化

• w 越小，表示 function 较平滑的， function输出值与输入值相差不大

• 在很多应用场景中，并不是 w 越小模型越平滑越好，但是经验值告诉我们 w越小大部分情况下都是好的。

• b的值接近于0 ，对曲线平滑是没有影响

总结