矩阵论笔记（二）——线性变换

分为如下六个部分：

1. 线性变换及其运算
2. 线性变换的矩阵表示
3. 特征值与特征向量
4. 对角矩阵
5. 不变子空间
6. Jordan 标准形

1 线性变换及其运算

线性变换就是对加法和数乘封闭的，线性空间到自身的映射。

• 定义：

（1）线性变换：变换（V->V 的映射）、象、原象，线性变换（对加法和数乘封闭的变换），旋转、微分、积分都是线性变换；
（2）值域与核：值域 R(T) 、核 N(T) 、 dimR(T)+dimN(T)=n （秩+亏/零度），象子空间、核子空间；
（3）线性变换的运算：单位变换/恒等变换、零变换，相等、加法、负变换、数乘、乘法、逆变换，幂、多项式， T 的多项式乘法可交换。

• 计算：

（1）T 的秩：确定基 x1,⋯,xn ，计算 T(x1),⋯,T(xn) 的极大无关组；
（2） T 的亏：解方程组 Tx=0，得到解空间的基与维度。

2 线性变换的矩阵表示

确定一组基，基的象用基表示，即得线性变换的矩阵表示。

• 定义：

（1）线性变换的矩阵表示：按列排基象系数、唯一，数乘变换、数量矩阵， dimR(T)=dimR(A) 、 dimN(T)=dimN(A) ；
（2）线性变换的运算： T1+T2, kT1, T1T2, T−11 的矩阵表示分别为 A+B, kA, AB, A−1 ，方阵 A 的多项式，向量变换 y=Tx 对应坐标变换 η=Aξ ；
（3）矩阵相似： T 在不同基下的矩阵相似，B=C−1AC，其中 C 为过渡矩阵，反身性、对称性、传递性、f(B)=P−1f(A)P，相似类。

• 计算：

（1）线性变换的矩阵表示：确定一组基，得到基在 T 下的象，象用基表示，系数按列排即得 A。

3 特征值与特征向量

特征向量可使线性变换的矩阵表示最为简单，为三角阵、对角阵或者 Jordan 标准形。

• 定义：

（1）特征值与特征向量： A 与 T 同特征值， A 的特征向量为 T 的特征向量在基下的坐标，特征矩阵 λI−A 、特征多项式 φ(λ) 、属于特征值的特征向量，属于 λ0 的特征向量加上零向量构成特征子空间 Vλ0 ；
（2）一些结论： ∑ni=1λi=∑ni=1aii=trA, λ1⋯λn=detA ， tr(AB)=tr(BA) ，相似矩阵具有相同的迹、特征多项式、特征值、最小多项式，若 A=diag(A1,⋯,Am) ，则 det(λI−A)=∏mi=1det(λIi−Ai) ，不同特征值对应的特征向量线性无关；
（3）Sylvester 定理：记 A∈ℝm×n, B∈ℝn×m ，则 λnφAB(λ)=λmφBA(λ) ；
（4）Hamilton-Cayley 定理：（先理：任意 n 阶矩阵与三角矩阵相似）n 阶矩阵 A 是其特征多项式的根，即 φ(A)=O ；
（5）最小多项式：首 1、次数最小、以矩阵 A 为根的 λ 多项式 m(λ) ，唯一、是 φ(λ) 的因式。

• 计算：

（1）特征值与特征向量：① 确定一组基；② 求 A 特征多项式的全部根；③ 把根逐个带入特征方程，求特征向量；④ 把 A 的特征向量作为坐标带回基，得到 T 的特征向量；
（2）为什么 ∑ni=1λi=∑ni=1aii=trA, λ1⋯λn=detA：因为 φ(λ)=(det)(λI−A)=λn−(a11+⋯+ann)λn−1+⋯+(−1)ndetA ，而 φ(λ)=(λ−λ1)⋯(λ−λn) ；
（3）最小多项式：可以证明，设 λI−A 全体 n−1 阶子式的最大公因式为 d(λ) ，则 m(λ)=φ(λ)d(λ) 。

4 对角矩阵

仅当 T 有 n 个线性无关的特征向量时，其在某一基下的矩阵 A 为对角矩阵。

• 定义：

（1）对角矩阵：
① T 在某基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是其有 n 个线性无关的特征向量；
② A 与对角矩阵相似的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量（完备的特征向量系）；
③ 若 A 有 n 个互异的特征值，则其与对角矩阵相似。

• 计算：

（1）求解 P 使 P−1AP=Λ ：把 A 的 n 个线性无关的特征（列）向量组成 P 即可， Λ 为相应特征值对角阵。

5 不变子空间

x∈V1, Tx∈V1 。

• 定义：

（1）不变子空间：对任意 x∈V1 ，都有 Tx∈V1 ，则 V1 是 T 的不变子空间；Vλ0、 N(T) 、 R(T) 都是 T 的不变子空间；
（2）分块对角阵：若 Vn 可分解为 T 的不变子空间的直和 Vn=V1⊕⋯⊕Vs，则 ① 每个 Vi 的基合并起来就是 Vn 的基；② T 的矩阵 A=diag(A1,⋯,As)，其中 Ai 是 T 在 Vi 基下的矩阵；
（3）充要条件： T 的矩阵 A 是对角阵的充要条件是 ① Vn 可分解为 n 个 T 的一维特征子空间的直和，或者 ② dimVλ1+⋯+dimVλs=n。

6 Jordan 标准形

化矩阵为 Jordan 标准形，实际上就是适当选基，使问题的数学形式最为简单。

主要有三个问题：1、Jordan 标准形存在且唯一；2、如何求 Jordan 标准形；2、如何求 P。

• 定义：

（1）**定义：**Jordan 标准形、Jordan 块， λ -矩阵/多项式矩阵、不变因子（初等变换后对角线的项，不随初等变换而改变）、初等因子（连同幂指数、不可约因子）、初等因子组，广义特征向量；
（2）定理：若 φ(λ−λ1)m1⋯(λ−λs)ms ，则 ① Vn 可分解为 s 个不变子空间在直和，每个子空间是 (T−λiTe)mi 的核子空间；② 每个不变子空间的基合并即为 Vn 的基， T 在该基下的矩阵为分块对角阵（准对角矩阵），每个块为 Jordan 块；
（3）Jordan 存在性：① 必能找到 Vn 的一组基使（复数域上的） T 的矩阵为 Jordan 标准形，或者 ② 必存在复非奇异阵使 P−1AP=J；
（4）Jordan 唯一性：每个复矩阵 A 都与 Jordan 标准形相似，该 Jordan 标准形除去 Jordan 块的排列顺序外，是唯一的。

• 计算：

（1）Jordan 标准形（一）：（复数域）① 把 λI−A 初等变换为对角阵，按依此整除顺序排列不变因子 di(λ) ；② 列出初等因子组 (λ−λi)mi ；③ 写出每个初等因子对应的 Jordan 块；④ 按顺序构成 Jordan 标准形；
（2）Jordan 标准形（二）：（复数域）记 Di(λ) 为 A(λ) 一切 i 阶子式的最大公因式（i 阶行列式因子），则不变因子 di(λ)=Di(λ)Di−1(λ), D0(λ)=1, i=1,⋯,s ，后续步骤同上；
（3）P 求解：列方程 AP=PJ ，得到若干方程组，解方程组即得，各个解向量为 A 的特征向量或广义特征向量（(λI−A)xi=−xi−1）。

• 应用

（1）若 λ1,⋯,λs 是 A 的特征值，证 Ak 的特征值只能是 λk1,⋯,λks ；
（2） Am=I ，证 $A$ 与对角阵相似。