广义相对论-学习记录2-第二章-狭义相对论1

第二章：狭义相对论

1、洛伦兹变换

Lorentz方程

  狭义相对性原理表示，自然规律对洛伦兹变换群是不变的。所谓的洛伦兹变换，是由一个时空坐标系$x^{\alpha }$到另一个坐标系$x^{\prime \alpha }$的变换（时空变换），这个线性变换具有如下形式：

$$x^{\prime \alpha }={\Lambda }_{\beta }^{\alpha }{x}^{\beta }+a^{\alpha }$$ （1）

  其中，$a^{\alpha }$和${\Lambda }_{\beta }^{\alpha }$是常数，$a^{\alpha }$表示坐标，${\Lambda }_{\beta }^{\alpha }$表示矩阵，它们满足条件：

$${\Lambda }_{\gamma }^{\alpha }{\Lambda }_{\delta }^{\beta }{\eta }_{\alpha \beta }={\eta }_{\gamma \delta }$$ （2）

  上述关系式被称为Lorentz方程

关于Lorentz方程的几点说明

  （1）矩阵${\eta }_{\alpha \beta }$具有如下形式：

$${\eta }_{\alpha \beta }=\{\begin{array}{rl}& +1,\alpha =\beta =1,or2,or3\\ & -1,\alpha =\beta =0\\ & 0,\alpha \ne \beta \end{array}$$

  （2）$x^1$，$x^2$，$x^3$是三个空间分量，$x^0=t$是时间分量

  （3）采用了爱因斯坦约定，所有的重复指标表示要求和（求和号被省略不写），例如，如果在式（1）中取$\alpha =0$，则（1）式为：

$$x^{\prime 0}={\Lambda }_0^0{x}^0+{\Lambda }_1^0{x}^1+{\Lambda }_2^0{x}^2+{\Lambda }_3^0{x}^3+a^0$$

  （4）Lorentz变换保持“原时”$d\tau$不变，即：

$$d{\tau }^2\equiv d{t}^2-d{x}^2=-{\eta }_{\alpha \beta }d{x}^{\alpha }d{x}^{\beta }$$

  （关于第二个等号是如何变过去的：$t=x^0$，而$x$对应的上角标分别是1,2,3，从右边出发可以推出左边）

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证明：

  在坐标变换的过程中，$x^{\alpha }\to x^{\prime \alpha }$，$d{\tau }^{\prime 2}=-{\eta }_{\alpha \beta }d{x}^{\prime \alpha }d{x}^{\prime \beta }$。再对定义中的（1）式进行微分，得到：

$$d{x}^{\prime \alpha }={\Lambda }_{\gamma }^{\alpha }d{x}^{\gamma }$$

  由此，分别将：${\Lambda }_{\delta }^{\alpha }d{x}^{\delta }$和${\Lambda }_{\gamma }^{\beta }d{x}^{\gamma }$代入到$d{\tau }^{\prime 2}$右端的两个$d{x}^{\prime }$中：

$$\begin{array}{rl}d{\tau }^{\prime 2}& =-{\eta }_{\alpha \beta }{\Lambda }_{\delta }^{\alpha }{\Lambda }_{\gamma }^{\beta }d{x}^{\delta }d{x}^{\gamma }\\ & =-{\eta }_{\delta \gamma }d{x}^{\delta }d{x}^{\gamma }\\ & =-{\eta }_{\alpha \beta }d{x}^{\alpha }d{x}^{\beta }\\ & =d{\tau }^2\end{array}$$

QED.

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  （5）Lorentz变换是保持$d\tau$不变的仅有的非奇异变换$x\to x^{\prime }$

非奇异的含义：$x^{\prime }(x)$和$x(x^{\prime })$都是正规的可微分函数，并使矩阵$\frac{\partial x^{\prime \alpha }}{\partial x^{\beta }}$有确定的逆矩阵$\frac{\partial x^{\beta }}{\partial x^{\prime \alpha }}$

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证明：

  存在性已在说明（4）中证明，接下来只需要证明唯一性，即先考虑最一般的坐标变换，在加上各种条件后最后只剩下这一种变换

  首先需要证明是线性变换，随后需要证明满足Lorentz方程

  先考虑最一般的坐标变换$x^{\alpha }\to x^{\prime \alpha }$，一般地把$d\tau \to d{\tau }^{\prime }$

$$d{\tau }^{\prime 2}=-{\eta }_{\alpha \beta }d{x}^{\prime \alpha }d{x}^{\prime \beta }$$

  目标：$d{\tau }^{\prime 2}=d{\tau }^2=-{\eta }_{\gamma \delta }d{x}^{\gamma }d{x}^{\delta }$

  将$\frac{\partial x^{\prime \alpha }}{\partial x^{\gamma }}d{x}^{\gamma }$代入到$d{x}^{\prime \alpha }$，将$\frac{\partial x^{\prime \beta }}{\partial x^{\delta }}d{x}^{\delta }$代入到$d{x}^{\prime \beta }$：

$$d{\tau }^{\prime 2}=-{\eta }_{\alpha \beta }\frac{\partial x^{\prime \alpha }}{\partial x^{\gamma }}\frac{\partial x^{\prime \beta }}{\partial x^{\delta }}d{x}^{\gamma }d{x}^{\delta }$$

  与目标结合对比，两边相消，得到：

$${\eta }_{\gamma \delta }={\eta }_{\alpha \beta }\frac{\partial x^{\prime \alpha }}{\partial x^{\gamma }}\frac{\partial x^{\prime \beta }}{\partial x^{\delta }}$$

  上式两端对$x^{ϵ}$求导，得：

$${\eta }_{\alpha \beta }\frac{{\partial }^2{x}^{\prime \alpha }}{\partial x^{\gamma }\partial x^{ϵ}}\frac{\partial x^{\prime \beta }}{\partial x^{\delta }}+{\eta }_{\alpha \beta }\frac{\partial x^{\prime \alpha }}{\partial x^{\gamma }}\frac{{\partial }^2{x}^{\prime \beta }}{\partial x^{\delta }\partial x^{ϵ}}=0$$（2）

  （2）式中$\gamma$与$ϵ$互换，得：

$${\eta }_{\alpha \beta }\frac{{\partial }^2{x}^{\prime \alpha }}{\partial x^{ϵ}\partial x^{\gamma }}\frac{\partial x^{\prime \beta }}{\partial x^{\delta }}+{\eta }_{\alpha \beta }\frac{\partial x^{\prime \alpha }}{\partial x^{ϵ}}\frac{{\partial }^2{x}^{\prime \beta }}{\partial x^{\delta }\partial x^{\gamma }}=0$$（3）

  继续（2）式中$\delta$与$ϵ$互换，得：

$${\eta }_{\alpha \beta }\frac{{\partial }^2{x}^{\prime \alpha }}{\partial x^{\gamma }\partial x^{\delta }}\frac{\partial x^{\prime \beta }}{\partial x^{ϵ}}+{\eta }_{\alpha \beta }\frac{\partial x^{\prime \alpha }}{\partial x^{\gamma }}\frac{{\partial }^2{x}^{\prime \beta }}{\partial x^{\delta }\partial x^{ϵ}}=0$$（4）

  对（4）式的第一项，进行$\alpha$和$\beta$的互换，得：

$${\eta }_{\alpha \beta }\frac{{\partial }^2{x}^{\prime \beta }}{\partial x^{\gamma }\partial x^{\delta }}\frac{\partial x^{\prime \alpha }}{\partial x^{ϵ}}+{\eta }_{\alpha \beta }\frac{\partial x^{\prime \alpha }}{\partial x^{\gamma }}\frac{{\partial }^2{x}^{\prime \beta }}{\partial x^{\delta }\partial x^{ϵ}}=0$$（4’）

  （2）+（3）-（4’），最终得到：

$$\begin{array}{rl}{\eta }_{\alpha \beta }\frac{{\partial }^2{x}^{\prime \alpha }}{\partial x^{\gamma }\partial x^{ϵ}}\frac{\partial x^{\prime \beta }}{\partial x^{\delta }}& =0\\ \frac{{\partial }^2{x}^{\prime \alpha }}{\partial x^{\gamma }\partial x^{ϵ}}& =0\end{array}$$

  上式的通解即为线性函数-定义中的（1）式，且注意到当定义中的（1）式代入到下式时：

$${\eta }_{\gamma \delta }={\eta }_{\alpha \beta }\frac{\partial x^{\prime \alpha }}{\partial x^{\gamma }}\frac{\partial x^{\prime \beta }}{\partial x^{\delta }}$$

  ${\Lambda }_{\beta }^{\alpha }$必然符合定义中的（2）式，由此证明是Lorentz变换（通解满足定义1式，而${\Lambda }_{\beta }^{\alpha }$又满足了定义2式，由此看来，这满足了Lorentz的定义，就是Lorentz变换了，同时也证明了唯一性）

QED.

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  （6）对于光速运动的粒子：

$$d{\tau }^2=d{t}^2\left[1-{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2\right]=d{t}^2(1-1)=0$$

  即$d\tau =0$

  （7）对满足Lorentz方程的所有Lorentz变换集合，组成非齐次的Lorentz群（或称为Poincare群）。若取$a^{\alpha }=0$，则称齐次的Lorentz群，简称Lorentz群

  （8）如果是正的Lorentz，则需要加上附加条件（之后如无特殊情况，讨论的将会都是正Lorentz群）：

$${\Lambda }_0^0\ge 1,|\Lambda |=+1$$

  【1】：一般的${\Lambda }_0^0$

  Lorentz方程$\gamma =\delta =0$

  ${\Lambda }_0^{\alpha }{\Lambda }_0^{\beta }{\eta }_{\alpha \beta }={\eta }_{00}=-1$

  $({\Lambda }_0^0{)}^2=1+\sum _{i=1,2,3}({\Lambda }_0^i{)}^2\ge 1$

  由上述不等式，有：

  $\{\begin{array}{rl}& {\Lambda }_0^0\ge 1\\ & {\Lambda }_0^0\le -1\end{array}$

  只取第一种情况

  【2】：一般的$\Lambda$的行列式

  把Lorentz方程写成矩阵形式

$$|\eta |=|{\Lambda }^T\eta \Lambda |$$

  得到：$|\Lambda {|}^2=1$，$|\Lambda |=\pm 1$，只取$|\Lambda |=+1$，此即正Lorentz群

  【3】正Lorentz群${\Lambda }_{\beta }^{\alpha }$可以通过连续参数变换，变换到单位元素${\delta }_{\beta }^{\alpha }$，反之亦然

  【4】正Lorentz变换，不包括空间反演变换（$|\Lambda |=-1$，${\Lambda }_0^0\ge 1$），也不包括时间反演变换（$|\Lambda |=-1$，${\Lambda }_0^0=-1$）

洛伦兹变换的简单分类

纯转动（以绕z轴转动为例）

$${\Lambda }_{\beta }^{\alpha }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \theta & \sin \theta & 0\\ 0& -\sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

推动（boosts）

  两个坐标系$\sum$、${\sum }^{\prime }$之间有相对运动，其中${\sum }^{\prime }$系相对于$\sum$系的速度为$v$。考虑速度$v$沿x轴方向，则：

$${\Lambda }_{\beta }^{\alpha }(boost)=\left(\begin{array}{cccc}\cosh \varphi & -\sinh \varphi & 0& 0\\ -\sinh \varphi & \cosh \varphi & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

  使用此变换后：

$$\{\begin{array}{rl}{t}^{\prime }& =t\cosh \varphi -x\sinh \varphi \\ x^{\prime }& =-t\sinh \varphi +x\cosh \varphi \end{array}$$

  令$\tanh \varphi =v$，则$\cosh \varphi =\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}$，$\sinh \varphi =\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}$，则可以得到：

$$\{\begin{array}{rl}& t^{\prime }=\frac{t-vx}{\sqrt{1-v^2}}\\ & x^{\prime }=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2}}\end{array}$$

  通常定义$\gamma$因子为$\gamma \equiv (1-v^2{)}^{-1/2}$，则boost可以写为如下形式：

$${\Lambda }_{\beta }^{\alpha }(boost)=\left(\begin{array}{cccc}\gamma & -v\gamma & 0& 0\\ -v\gamma & \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

  还可以写为：

$${\Lambda }_0^0=\gamma ,{\Lambda }_0^i=-\gamma v_i,{\Lambda }_j^0=-\gamma v_j,{\Lambda }_j^i={\delta }_{ij}+v_i{v}_j\frac{\gamma -1}{v^2}$$

  任何正齐次Lorentz变换都可以表示为推动和转动的乘积

以上内容记录于2021-9-18

2、粒子动力学

  在无boost的静止参考系中，Lorentz变换回到伽利略变换，此时牛顿第二定律成立：
$$dv=F\frac{dt}{m}$$
  如果是在一般的参考系中，则理论上可以用下述方式求粒子的运动：
  （1）通过Lorentz变换，将系统变换到（粒子速度）$v=0$的参考系中
  （2）利用牛顿第二定律计算出$t_0+dt$时刻的$v$值（计算得到的$v$是把参考系变回去了吗？）
  （3）再做一次Lorentz变换，再次变换到$v=0$的参考系
  （4）重复（2）（3）

  而除了上述方法外，还有更一般的方法。在这个方法中，首先定义“相对论性的力”$f^{\alpha }$，满足：
$$f^{\alpha }=m\frac{d^2{x}^{\alpha }}{d{\tau }^2}$$
  如果粒子瞬时静止，则$dt=d\tau$，即：
$$\{\begin{array}{rl}& f^i=m\frac{d^2{x}^i}{d{t}^2}=F^i\\ & f^0=m\frac{d^{2}t}{d{t}^2}=0\end{array}$$
  在一般的Lorentz变换$d{x}^{\prime \alpha }={\Lambda }_{\beta }^{\alpha }d{x}^{\beta }$下，$f^{\prime \alpha }={\Lambda }_{\beta }^{\alpha }{f}^{\beta }$。由此，可以由牛顿力$F$得到任意惯性参考系中的相对论性的力$f^{\alpha }$的表达式

  计算粒子运动的普遍计算步骤（运动参考系中的粒子是瞬时静止的，因此$F^0=0$）：
  （1）$f^{\alpha }={\Lambda }_{\beta }^{\alpha }(v)F^{\beta }={\Lambda }_0^{\alpha }{F}^0+{\Lambda }_i^{\alpha }{F}^i$，即：
$$\{\begin{array}{rl}& f=F+(\gamma -1)v\frac{(v\cdot F)}{v^2}\\ & f^0=-\gamma v\cdot F=-v\cdot f\end{array}$$
  求出来的$f$是原有的静止参考系中的力

  （2）利用$f^{\alpha }=m\frac{d^2{x}^{\alpha }}{d{\tau }^2}$求出$x^{\alpha }(\tau )$

  （3）消去参数$\tau$，从而得到$x(t)$

  （4）初始条件（$\frac{d{x}^{\alpha }}{d\tau }$的初值）选择为：满足${\eta }_{\alpha \beta }\frac{d{x}^{\alpha }}{d\tau }\frac{d{x}^{\beta }}{d\tau }=-1$（闵氏时空中度规的定义）（为什么要选择？不是由实际情况而定？如果不满足会怎样？——可以证明四维速度始终满足这一条件）

3、能量与动量

  相对论的能量-动量四矢量定义：
$$p^{\alpha }\equiv m\frac{d{x}^{\alpha }}{d\tau }$$
  说明：

  （1）牛顿第二定律$f^{\alpha }=m\frac{d^2{x}^{\alpha }}{d{\tau }^2}\to \frac{d{p}^{\alpha }}{d\tau }$

  （2）分量表示：
$$\{\begin{array}{rl}& p^0=m\frac{dt}{d\tau }=m\gamma \equiv E\\ & p=m\frac{dx}{d\tau }=m\frac{dx}{dt}\frac{dt}{d\tau }=m\gamma v\end{array}$$
  其中，$d\tau \equiv (d{t}^2-d{x}^2{)}^{1/2}=(1-v^2{)}^{1/2}dt=dt/\gamma \to dt/d\tau =\gamma$

  （3）当$v\ll 1$时，有：
$$\{\begin{array}{rl}& p^0=m\gamma =m(1+\frac{1}{2}{v}^2)=m+\frac{1}{2}m{v}^2+O(v^4)\\ & p=mv+O(v^3)\end{array}$$
  （4）在坐标变换下，$p^{\alpha }$满足Lorentz变换规则，即当$x^{\alpha }\to x^{\prime \alpha }$时，有：
$$p^{\alpha }\to p^{\prime \alpha }={\Lambda }_{\beta }^{\alpha }{p}^{\beta }$$
  （5）$E(p)=(m^2+p^2{)}^{1/2}$

证明：
$$p^{\alpha }{p}^{\beta }=m^2\frac{d{x}^{\alpha }}{d\tau }\frac{d{x}^{\beta }}{d\tau }=m^2\frac{d{x}^{\alpha }d{x}^{\beta }}{d{\tau }^2}$$
  左右两侧同时乘${\eta }_{\alpha \beta }$：
$$\begin{array}{rl}{\eta }_{\alpha \beta }{p}^{\alpha }{p}^{\beta }& =m^2\frac{{\eta }_{\alpha \beta }d{x}^{\alpha }d{x}^{\beta }}{d{\tau }^2}\\ -{p^0}^2+p^2& =-m^2\\ -E^2+p^2& =-m^2\end{array}$$
  最后得到：
$$E=(m^2+p^2{)}^{\frac{1}{2}}$$
QED.

  对于无质量粒子，有$v^2=1$，$m=0$，因此：

  （1）$p^{\alpha }\equiv m\frac{d{x}^{\alpha }}{d\tau }$无意义，对于光子而言，能量$E=h\nu$，动量$p=\frac{hk}{2\pi }$，因此$|p|=\frac{2\pi }{\lambda }=\frac{2\pi \nu }{c}$

  （2）$\frac{p}{E}=v$对于所有粒子均成立

  （3）$E=|p|$

4、矢量与张量

逆变矢量、协变矢量

逆变矢量定义：

  在坐标变换$x^{\alpha }\to x^{\prime \alpha }={\Lambda }_{\beta }^{\alpha }{x}^{\beta }$下，若一矢量$V^{\alpha }$满足变换关系
$$V^{\alpha }\to V^{\prime \alpha }={\Lambda }_{\beta }^{\alpha }{V}^{\beta }$$
  则称为“逆变矢量”，如前面提到的矢量$d{x}^{\alpha }$，$f^{\alpha }$，$p^{\alpha }$等

协变矢量定义：

  在坐标变换$x^{\alpha }\to x^{\prime \alpha }={\Lambda }_{\beta }^{\alpha }{x}^{\beta }$下，若一矢量$U_{\alpha }$满足变化关系
$$U_{\alpha }\to U_{\alpha }^{\prime }={\Lambda }_{\alpha }^{\beta }{U}_{\beta }$$
  则称为“协变矢量”

  说明：

  （1）${\Lambda }_{\alpha }^{\beta }\equiv {\eta }_{\alpha \gamma }{\eta }^{\beta \delta }{\Lambda }_{\delta }^{\gamma }$

  （2）定义${\eta }^{\beta \delta }\equiv {\eta }_{\beta \delta }\to {\eta }^{\beta \delta }{\eta }_{\delta \alpha }={\delta }_{\alpha }^{\beta }$，${\eta }^{\beta \delta }$与${\eta }_{\beta \delta }$互逆

  （3）矩阵${\Lambda }_{\alpha }^{\beta }$是矩阵${\Lambda }_{\beta }^{\alpha }$的逆矩阵，即${\Lambda }_{\alpha }^{\gamma }{\Lambda }_{\beta }^{\alpha }={\delta }_{\beta }^{\gamma }$

证明：
$${\Lambda }_{\alpha }^{\gamma }{\Lambda }_{\beta }^{\alpha }={\eta }_{\alpha \delta }{\eta }^{\gamma ϵ}{\Lambda }_{ϵ}^{\delta }{\Lambda }_{\beta }^{\alpha }={\eta }_{ϵ\beta }{\eta }^{\gamma ϵ}={\delta }_{\beta }^{\gamma }$$
QED.

  （4）$\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }}$是协变矢量

证明：
$$\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }}\to \frac{\partial }{\partial x^{\prime \alpha }}=\frac{\partial x^{\beta }}{\partial x^{\alpha }}\frac{\partial }{\partial x^{\beta }}$$
  Lorentz变换：$x^{\prime \alpha }={\Lambda }_{\beta }^{\alpha }{x}^{\beta }$
$${\Lambda }_{\alpha }^{\gamma }{x}^{\prime \alpha }={\Lambda }_{\alpha }^{\gamma }{\Lambda }_{\beta }^{\alpha }{x}^{\beta }=x^{\gamma }$$
  又因为${\Lambda }_{\alpha }^{\gamma }{\Lambda }_{\beta }^{\alpha }={\delta }_{\beta }^{\gamma }$，所以：
$$\begin{gathered} x^{\gamma }={\Lambda }_{\alpha }^{\gamma }{x}^{\prime \alpha } \\ \frac{\partial }{\partial x^{\prime \alpha }}={\Lambda }_{\alpha }^{\beta }\frac{\partial }{\partial x^{\beta }} \end{gathered}$$
  因此$\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }}$是协变矢量

QED.

  推论：

  （1）逆变矢量与协变矢量的乘积是不变量（标量）

证明：
$$U_{\alpha }^{\prime }{V}^{\prime \alpha }={\Lambda }_{\alpha }^{\beta }{U}_{\beta }{\Lambda }_{\gamma }^{\alpha }{V}^{\gamma }={\delta }_{\gamma }^{\beta }{U}_{\beta }{V}^{\gamma }=U_{\beta }{V}^{\beta }$$
QED.

  （2）每一个逆变矢量都对应一个协变矢量，即：$V_{\alpha }\equiv {\eta }_{\alpha \beta }{V}^{\beta }$；同理，每一个协变矢量都对应一个逆变矢量，即：$U^{\alpha }\equiv {\eta }^{\alpha \beta }{U}_{\beta }$

  （3）达朗贝尔算子：${\square }^2\equiv {\eta }^{\alpha \beta }\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }}\frac{\partial }{\partial x^{\beta }}={\nabla }^2-\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}$是不变量（标量）

张量

定义

  在坐标变换下，如果有如下的变换，则称之为张量：
$${T^{\gamma }}_{\alpha \beta }\to {T^{\prime \gamma }}_{\alpha \beta }={{\Lambda }^{\gamma }}_{\delta }{{\Lambda }_{\alpha }}^{ϵ}{{\Lambda }_{\beta }}^{\zeta }{T^{\delta }}_{ϵ\zeta }$$
  说明：

  （1）上式中的上标称为“逆变指标”，按照逆变矢量的变换规则做变换；下标称为“协变指标”，按照协变矢量的变换规则作变换

  （2）逆变矢量，协变矢量，标量等都是张量

  （3）注意指标的顺序，甚至上标和下标之间的顺序一般都是有关系的，例如：$T_{\alpha }^{\beta \gamma }$和${{T^{\beta }}_{\alpha }}^{\gamma }$可以相同，也可以不相同

张量运算

  （1）线性组合：${T^{\alpha }}_{\beta }\equiv a{R^{\alpha }}_{\beta }+b{S^{\alpha }}_{\beta }$，若$R$和$S$是张量，则$T$必是张量

  （2）直乘（两张量的分量的乘积）：${{T^{\alpha }}_{\beta }}^{\gamma }\equiv {A^{\alpha }}_{\beta }{B}^{\gamma }$，若$A$，$B$是张量，则$T$必为张量

  （3）缩并：$T^{\alpha \gamma }\equiv {{T^{\alpha }}_{\beta }}^{\gamma \beta }$，缩并必须是一个上指标和一个下指标才能进行

  （4）微商：${T_{\alpha }}^{\beta \gamma }\equiv \frac{\partial }{\partial x^{\alpha }}{T}^{\beta \gamma }$

  所有的运算基本上就只有上面这些

特殊张量

  特殊张量是在所有坐标系中，各个分量都保持不变的张量，其中包含：

  （1）标量

  （2）Minkowski张量${\eta }_{\alpha \beta }$以及${\eta }^{\alpha \beta }$

  （3）零张量，即所有分量都为零的张量

  （4）Kronecker delta张量${\delta }_{\beta }^{\alpha }$

  （5）Levi-Civita张量：
$${ϵ}^{\alpha \beta \gamma \delta }=\{\begin{array}{rl}& +1,if\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,evenpermutationof0,1,2,3\\ & -1,if\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,oddpermutationof0,1,2,3\\ & 0,otherwise\end{array}$$
证明Levi-Civita张量是特殊张量：

  要证此特性，需要证明：${\Lambda }_{\sigma }^{\alpha }{\Lambda }_{\rho }^{\beta }{\Lambda }_{\kappa }^{\gamma }{\Lambda }_{\lambda }^{\delta }{ϵ}^{\sigma \rho \kappa \lambda }={ϵ}^{\alpha \beta \gamma \delta }$

  当$\alpha \beta \gamma \delta =0123$时，$|\Lambda |(左)=1(右)$，剩下的同理可证

QED.

张量代数基本定理

  张量代数的要点：使人们能够一眼看出方程是否是Lorentz不变的

  张量代数基本定理：两个具有相同上标和下标的张量，如果在一个坐标下相等，则在通过Lorentz变换与之联系的任意其他坐标系中也相等

证明：
$$\begin{gathered} T^{\alpha \beta }=S^{\alpha \beta }\to T^{\prime \alpha \beta }=S^{\prime \alpha \beta } \\ {T}^{\prime \alpha \beta }={\Lambda }_{\delta }^{\alpha }{\Lambda }_{\gamma }^{\beta }{T}^{\delta \gamma }={\Lambda }_{\delta }^{\alpha }{\Lambda }_{\gamma }^{\beta }{S}^{\delta \gamma } \end{gathered}$$
QED.

  特别地，一个张量等于零，这个陈述也是Lorentz不变的

切矢量与方向导数

切矢量

  考虑时空中的一条光滑的曲线$C$，记为$x^{\mu }(\lambda )$，其中$\lambda$为标量型参数曲线，例如曲线的长度。在曲线$C$上任意一点$p$（坐标为$x^{\mu }$），可以定义沿曲线的方向导数：
$$t\equiv \frac{d}{d\lambda }$$
  根据求导的链式法则，容易得出：
$$t=\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}=t^{\mu }\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}$$
  容易验证，上式中的$t^{\mu }\equiv \frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }$在时空坐标的Lorentz变换下具有矢量的变换性质，称为曲线$C$在$x$处的切矢量

切空间

  一般地，通过时空中给定一点的所有曲线在点$p$处的切矢量全体张成一个矢量空间，称为时空的“切空间”

  说明：

  （1）容易证明，切空间与时空本身具有相同的维度

  （2）对于Minkowski时空，切空间的几何结构和时空本身完全相同，因此不必区分切空间和时空本身

  （3）对于更一般的时空（例如二维球面），切空间与时空的几何结构将会是不同的