【高等数学】第二章 导数与微分——第二节 函数求导法则

1. 函数的和、差、积、商的求导法则

• 四则运算
  如果函数$u=u(x)$及$v=v(x)$都在点$x$具有导数
  那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点$x$具有导数，且
  $(1)[u(x)\pm v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)\pm v^{\prime }(x);$
  $(2)[u(x)\cdot v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x);$
  $(3)[\frac{u(x)}{v(x)}{]}^{\prime }=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{v^2(x)}(v(x)\ne 0)$

2. 反函数的求导法则

• 反函数
  如果函数$x=f(y)$在区间$I_y$内单调、可导且$f^{\prime }(y)\ne 0$
  那么反函数$y=f^{-1}(x)$在区间$I_x=\{x|x=f(y),y\in I_y\}$内也可导，且$$[f^{-1}(x){]}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(y)}或\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$
• 反函数的导数等于直接函数导数的倒数

3. 复合函数的求导法则

• 复合函数
  如果$u=g(x)$在点$x$可导，而$y=f(u)$在点$u=g(x)$可导
  那么复合函数$y=f[g(x)]$在点$x$可导，且其导数为$$\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(u)g^{\prime }(x)或\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$

4. 常数和基本初等函数求导公式总结

• 常数
  $(C{)}^{\prime }=0$
• 幂函数
  $(x^{\mu }{)}^{\prime }=\mu x^{\mu -1}$
• 三角函数
  • $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$
  • $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$
  • $(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$
  • $(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x$
  • $(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$
  • $(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$
• 指数函数
  $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a(a>0,a\ne 1)$
  $(e^x{)}^{\prime }=e^x$
• 对数函数
  $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}(a>0,a\ne 1)$
  $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$
• 反三角函数
  • $(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
  • $(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
  • $(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
  • $(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$