通俗易懂——VAE变分自编码器原理

变分自编码器（Variational Auto Encoder, VAE）

李宏毅机器学习笔记。转载请注明出处。

自编码器（Autoencoder）：

Autoencoder = Encoder + Decoder

希望输入（原始数据）和输出（重建数据）尽可能一样。中间的code就是隐变量，也叫Embedding, Representation，Bottleneck…名字花样很多，其实本质都是同一个东西，都是原始数据的低维表示。
● Encoder: Convolution + Leaky Relu +Batch normalization
● Decoder: Convolution transpose + Leaky Relu + Batch normalization

注：PCA和Encoder一样吗？
都有降维作用，PCA学习的是线性关系，Encoder能够学习非线性关系，当Encoder中用线性激活函数的时候，可将其等效于PCA。

自编码器的应用：生成任务、去噪、异常检测…
自编码器存在问题：

变分自编码器：

简介

可以看到与自编码器的区别，就是中间多了一部分。
其中的m相当于原来的（自编码器）的code，c是加噪声后的code，σ表示现在噪声的方差（噪声需要多大），是机器学出来的， 取指数e是为了确保得到的值一定是正的，参数e是从一个正态分布里采样出来的（方差固定）。

可以看作机器在训一组均值和方差，不像自编码器是让机器学会生成一个具体的向量，而是让机器学习一个数据分布，从这个分布中sample出一个样本，这样就扩大了生成的范围。
VAE假设所有维度相互独立。

损失函数：最小化重建误差

这个式子具体怎么来的，后面有详细介绍，可以先直观了解其物理含义。

含义如下图，蓝曲线对应蓝下划线公式部分，红也是。绿色曲线表示蓝减去红，其最低点等于0（loss最小），所以我们希望σ接近0，方差e^0=1…所以让机器知道方差不能太小。
最后的一项m^2，就是L2正则项，为了不过拟合。

VAE与自编码器比较

为什么要用VAE？原来的自编码器有什么问题？

1.首先从直观上看：
如果是自编码器，就是把每个图片都变成一个code，那么
藏从满月和半月的code中间取一个点，输入decoder，会输出什么呢？现在我们用的神经网络都是非线性的，所以很难预测会输出什么。可能会输出一个看起来什么都不像的图片。

VAE的话，
code上加了些噪声，那么就从一个点变成了一个范围，绿色双箭头的范围内，都会被decoder成满月，半月同理。

此时选中间某个点的话，他被希望重建回满月，也希望是半月，但只能重建回一张图片，VEA会最小化均方误差，所以会得到一张介于满月和半月的图。

2.比较正式的解释
VAE中是个多元正态分布

Defined by 2 variables:
○ - mean value -> centre of the distribution
○ σ - standard deviation -> variability of the distribution

如下原理。

VAE

假设现在想让机器生成pokeman宝可梦的图， 每张图20*20，就是高维空间400维的一个点（一）。现在要做的是：估计高维空间上这个点的概率分布P(x)，x是一个向量。得到P(x)，就可以从这个分布中采样到一张宝可梦的图啦。
下图，曲线高的地方代表像宝可梦的概率大。

如何估计这个概率分布？

（1）可以用高斯混合模型

如有100个高斯模型，给你一些数据，让你去估计这100个高斯的权重，均值，方差，很容易。

每个高斯都得到自己的权重，首先根据权重选择你要哪个高斯模型P(m)，然后从这个高斯模型里就能采样一个x出来P(x|m)，就能用EM算法求解。
每个x都是来自于某一个混合分布，看起来像分类，但不能看作分类或聚类问题，更好的表示方式是用分布表示，即不是把x分成固定的一类，而是用一个向量来表示它，来体现它各个不同面的特性。

（2）可以用VAE

VAE就是高斯混合模组中混合分布的版本。

从正态分布中采样一个z，z~N(0,1)，z可以是很多维（自己决定），那么每一维都代表一种特性。假设均值方差都有它的公式，把z带入，就能得到均值μ(z)，方差σ(z)的公式。之前都是定128，512…个混合高斯，现在定无穷个高斯。

下图假设一个一维的z，从隐空间得到，从z空间任意sample一个点，每个点都会有其对应的高斯，那么怎么知道这个高斯分布什么样（均值&方差）？用神经网络，输入z，输出两个向量，均值μ(z)，方差σ(z)，（方差是矩阵怎么办？你可以拉平，或只训对角线元素）

最后，对所有z的值积分（因为z连续）：

• 有人问：为什么z是高斯分布呢？
  也可以不是高斯分布，可以是一朵花的样子，可以是任何样子。但假设高斯也是合理的。

• 会不会假设的z的分布太复杂，神经网络算不出P(x)？
  不会的，神经网络有能力拟合任何函数，就算假设z服从标准正太分布，最后算出来的P(x)也是很复杂的。

P(x)如何求

最大似然估计：

均值μ(z)，方差σ(z)的估计：
我们首先知道Ｐ(z)是什么分布，如z~N(0,1)，标准正态分布。现在z服从（均值μ(z)，方差σ(z)）的分布，然后就可以知道x是从什么样的分布中出来的，但均值μ(z)，方差σ(z)的函数是不知道的，怎么算？
用神经网络NN计算，调NN的参数，使得似然函数最大。

还需另一个参数P(z|x)，同理，调NN’的参数，使得似然函数最大。

下面展开似然函数logP(x):
可以看到红线式子就是KL散度，用来度量两个分布的相似性（越相似值越小）。

这样就的到最低边界Lb，式子可以写成如下：

我们想最大化这个最低边界Lb，但同时会影响后一项KL散度的值，如出现下面情况：
Lb的值增大的同时，KL减小（减小使得q(z|x)与p(z|x)越来越接近），最后似然值并未变。

为什么呢？
这个式子中，P(z)是已知的（正态分布），所以要找P(x|z)和q(z|x)，让Lb最大。
首先q(z|x)这项压根和P(x)没关（P(x)只和P(x|z)有关），所以改变q(z|x)，对最终的目标似然函数log P(x)没影响，即蓝线高度不变。所以Lb增大，会让KL散度那项减小。

那我们把Lb式子继续分解：
公式第一项：
可以看到第一项是有关q(z|x)的散度，q就是一个神经网络NN’，当你输入一个x，就会得到均值，方差，就知道它是从什么样的分布得来的。

我们目的是最大化Lb，那此时就想最小化该散度（因为是负的）：
那就通过调该NN’的参数，让q(z|x)的分布与P(z)，（已知是正太分布）越接近越好，从而来使得该KL最小。

最小化该散度，就等同于下面的式子，就是VAE网络的目标函数。
具体公式推导可以看VAE这篇论文。

公式第二项：
让它最大，就是最大化log P(x|z)。从q(z|x)中sample一个z，这个能让log P(x|z)的概率越大越好。这件事本质也是自编码器做的事情。 此时，可以发现，原来q(z|x)中q就是编码器NN’ ， P(x|z)中P就是解码器NN。

怎么才能让log P(x|z)的概率越大？
在实做中，一般不考虑方差方差σ(z)，只考虑均值μ(z)的话，如果是假设是高斯分布，就希望均值μ(z)与x越接近越好，若μ(z)=x时，log P(x|z)最大。

VAE还有另外的形式，如Conditional VAE

Conditional VAE

如想让它产生同一书写风格的手写体数字。
如下图，给一个粗体的4，它可以抽出它的特性（笔画数，粗细等等），然后输入decoder有关它特性的向量，以及告诉是数字几，产生同种书写风格的其他数字。

VAE存在的问题

VAE它没有去学怎么产生一张新的像真的的图片，而是学习怎么产生一张图片能与database里的图片一模一样。他只是模仿而已，这样来看其实没有太intelligient。
如图，decoder产生的两张数字7，第一个在7的下端多了一点像素，第二个在7的右边多了一点像素，在我们看来第一个（也能完全接受）比第二个好，但在机器看来都是一样好或一样坏（比较与目标图片的每个像素的最小均方误差损失等等）。

所以接下来2014年有人提出生成对抗网络。