七、向量的外积以及内外积的几何解释

1. 点积与外积的区别

向量的乘法有两种，一种是点积--dot product，一种是外积--cross product

点积和外积的区别：

点积可以在任何维数的空间中定义，外积只能在三维空间中定义

点积的结果是一个标量，外积的结果是一个向量

2. 外积的定义

在R3中，假设有两个向量：

那么， 与  的外积是：

外积就是两个向量组成的3x2矩阵的代数余子式

由外积的定义可以看出，外积只能在三维空间中定义，且结果为一个向量。

3. 外积的属性

外积与生成外积的两个向量正交，证明如下：

 的证明过程类似

外积向量的方向可以由右手法则来确定：大拇指指向，四指指向，掌心的方向即为外积向量的方向

4. 外积的用处

因为外积与生成外积的两个向量(不为0向量)正交，所以外积是两个原始向量展开生成的平面的法向量。在上一篇文章中介绍，由法向量和平面上的一个点，可以定义一个平面，但是多数情况下，并不知道平面的法向量，此时，如果知道平面上的三个点，由这三个点可以确定平面上的两个向量，再由两个向量计算出法向量，最终通过法向量和任意一个点，确定平面方程。

5. 外积与夹角正余弦的关系

点积与外积类似于硬币的两面，它们与夹角的关系为：

点积与夹角余弦的关系在上一篇文章中已证明，下面证明外积与夹角正弦的关系：

点积的平方：

= 

外积长度的平方：

点积的平方加上外积长度的平方：

两边同时开平方：

证明完毕。

6. 点积与外积长度的几何解释

从上图可知，点积为两向量同方向的积，外积长度为两向量垂直方向的积