《统计学习方法》第1章 统计学习方法概论 1.2 监督学习

1.2 监督学习

监督学习的任务就是学习一个模型，使模型能够对任意给定的输入，对其相应的输出做出一个好的预测。

1.2.1 基本概念

1.输入空间、特征空间与输出空间

（1）输入空间和输出空间：输入与输出所有可能取值的集合分别成为输入空间（input space）和输出空间（output space）。输入和输出空间可以是有限元素的集合，也可以是整个欧式空间。可以是同一空间，也可以是不同空间；通常，输出空间小于输入空间。
注释：欧式空间：

（2） 特征空间： 所有特征向量存在的空间称为特征空间（feature space）。特征向量（feature vector）是每个具体输入（也叫做实例（instance））的表示。特征空间的每一个维度对应一个特征。输入空间和特征空间可以相同， 也可以不同，如果不同，则将实例从输入空间映射到特征空间。模型实际上都是定义在特征空间上。
（3）表示：
a.在监督学习中，将输入与输出看作是定义在输入（特征）空间与输出空间上的随机变量的取值。输入、输出变量用大写字母表示：输入为X，输出为Y；输入、输出变量所取的值用小写字母表示：输入变量的取值为x，输出变量的取值为y。（比那辆可以是标量也可以是向量，表示不变）。输入实例x的特征向量记作：

x⁽ⁱ⁾表示x的第i个特征。x_i表示多个输入变量中的第i个。即：
b.监督学习从训练数据（training data）集合中学习模型，对测试数据（test data）进行预测。
训练数据由输入（或特征向量）与输出对组成。训练集的表示为：
测试数据的表示同上。输入与输出对又称为样本（sample）或样本点。
（4）预测任务：
a.回归问题：输入输出变量均为连续变量的预测问题；
b.分类问题：输出变量为有限个离散变量的预测问题；
c.标注问题：输入变量与输出变量均为变量序列的预测问题。

2.联合概率分布

监督学习关于数据的基本假设：X和Y具有联合概率分布P(X,Y)。P(X,Y)表示分布函数，或分布密度函数。对学习系统来说，联合概率分布的具体定义是未知的。训练数据与测试数据被看作是依联合概率分布独立同分布产生的。统计学习假设数据存在一定的统计规律。
联合概率分布

3.假设空间

监督学习的目的在于找到一个从输入到输出的映射，用模型表示。模型属于输入空间到输出空间的映射的集合，整个集合就是假设空间（hypothesis space）。假设空间的确定意味着学习范围的确定。
模型可以是概率模型或非概率模型，由条件概率分布 P(Y|X)或决策函数（decision function）Y=f(X)表示。对具体的输入进行相应的输出与测试，写作P(y|x)或y=f(x)。

1.2.2 问题的形式化

学习系统通过训练数据集中的样本带来的信息学习模型。