16广义逆的计算及应用

1.由$hermite$标准形求$\{1\}$逆

{1}逆即$AXA=A,$先想办法把A矩阵表示出来
对任意矩阵，我们都有$EA=B,B$是$Hermite$矩阵，现在再在B矩阵后乘上置换矩阵P，使得$$EAP=\left[\begin{array}{cc}{I}_r& K\\ 0& 0\end{array}\right]$$ $$A=E^{-1}\left[\begin{array}{cc}{I}_r& K\\ 0& 0\end{array}\right]P^{-1}$$试着假设$X$矩阵是$X=P\left[\begin{array}{cc}{I}_r& 0\\ 0& L\end{array}\right]E,$接着来证明一下是否是这样。$$AXA=A=E^{-1}\left[\begin{array}{cc}{I}_r& K\\ 0& 0\end{array}\right]P^{-1}P\left[\begin{array}{cc}{I}_r& 0\\ 0& L\end{array}\right]E{E}^{-1}\left[\begin{array}{cc}{I}_r& K\\ 0& 0\end{array}\right]P^{-1}$$ $$=E^{-1}\left[\begin{array}{cc}{I}_r& K\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{I}_r& 0\\ 0& L\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{I}_r& K\\ 0& 0\end{array}\right]P^{-1}=E^{-1}\left[\begin{array}{cc}{I}_r& KL\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{I}_r& K\\ 0& 0\end{array}\right]P^{-1}=E^{-1}\left[\begin{array}{cc}{I}_r& K\\ 0& 0\end{array}\right]P^{-1}=A$$故，可知$A^{(1)}=P\left[\begin{array}{cc}{I}_r& 0\\ 0& L\end{array}\right]E$

简而言之，划重点啦！！！！
$$\{1\}逆=P\left[\begin{array}{cc}{I}_r& 0\\ 0& L\end{array}\right]E$$ $$\{2\}逆=P\left[\begin{array}{cc}{I}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right]E$$

2.由满秩分解求广义逆

像这种单纯的及复杂的概念的我觉得不会考（实在是记不住哇）
对$A$进行满秩分解；$A=FG,A\in C_r^{m\times n},F\in C_r^{m\times r},G\in C_r^{r\times n}$则

1. $G^{(i)}{F}^{(1)}\in A\{i\}i=1,2,4$
   证明：$$当i=1时：FG{G}^{(1)}{F}^{(1)}FG=FG(\because G{G}^{(1)}=I_r,F^{(1)}F=I_r)$$即$i=1$时，$G^{(1)}{F}^{(1)}\in A\{1\}$ 得证。$$i=2时：G^{(2)}{F}^{(1)}FG{G}^{(2)}{F}^{(1)}=G^{(2)}G{G}^{(2)}{F}^{(1)}=G^{(2)}{F}^{(1)}$$即$i=2$时，$G^{(2)}{F}^{(1)}\in A\{2\}$ 得证。$$i=4时：(G^{(4)}{F}^{(1)}FG{)}^H=(G^{(4)}G{)}^H=G^{(4)}G(对G运用\{4\}逆的定义)=G^{(4)}{I}_{n}G=G^{(4)}{F}^{(1)}FG$$即$i=4$时，$G^{(4)}{F}^{(1)}\in A\{4\}$ 得证。

2. $G^{(1)}{F}^{(i)}\in A\{i\}i=1,2,3$
   证明：$$当i=1时：FG{G}^{(1)}{F}^{(1)}FG=FG$$即$i=1$时，$G^{(1)}{F}^{(1)}\in A\{1\}$ 得证。$$i=2时：G^{(1)}{F}^{(2)}FG{G}^{(1)}{F}^{(2)}=G^{(1)}{F}^{(2)}F{F}^{(2)}=G^{(1)}{F}^{(2)}$$即$i=2$时，$G^{(1)}{F}^{(2)}\in A\{2\}$ 得证。$$i=3时：(FG{G}^{(1)}{F}^{(3)}{)}^H=(F{F}^{(3)}{)}^H=F{F}^{(3)}(对F运用\{3\}逆的定义)=F{I}_n{F}^{(3)}=FG{G}^{(1)}{F}^{(3)}$$即$i=3$时，$G^{(1)}{F}^{(3)}\in A\{3\}$ 得证。

3. $G^{(1)}{F}^{+}\in A\{1,2,3\},G^{+}{F}^{(1)}\in A\{1,2,4\}$
   由以上1,2的证明可以很自然地得到这个结论。

4. $A^{+}=G^{+}{F}^{(1,3)}=G^{(1,4)}{F}^{+}$
   证明：$$G^{+}{F}^{(1)}\in A\{1,2,4\}$$ 由2可知$$G^{+}{F}^{(3)}\in A\{3\}$$综上可以得到：$$A^{+}=G^{+}{F}^{(1,3)}$$同理可得第二个结论

5. $A^{+}=G^{+}{F}^{+}=G^H(G{G}^H{)}^{-1}(F^{H}F{)}^{-1}{F}^H=G^H(F^{H}A{G}^H{)}^{-1}{F}^H$
   证明：$$\because G^H(G{G}^H{)}^{-1}\in G\{1,2,4\},(F^{H}F{)}^{-1}{F}^H\in F\{1,2,3\}$$ $$\therefore 由前面结论可得A^{+}=G^{+}{F}^{+}=G^H(G{G}^H{)}^{-1}(F^{H}F{)}^{-1}{F}^H$$ $$又G^H(G{G}^H{)}^{-1}(F^{H}F{)}^{-1}{F}^H=G^H(F^{H}FG{G}^H{)}^{-1}{F}^H=G^H(F^{H}A{G}^H{)}^{-1}{F}^H$$
   

3.矩阵方程$AXB=D$的相容性条件及通解

3.1 定理1

矩阵方程$AXB=D$相容的充要条件：$A{A}^{(1)}D{B}^{(1)}B=D,$在相容条件下的矩阵方程通解为$\{A^{(1)}D{B}^{(1)}+Y-A^{(1)}AYB{B}^{(1)}|Y为阶数合适的任意矩阵\}$
证明：
充分性：$$令X=A^{(1)}D{B}^{(1)},显然A{A}^{(1)}D{B}^{(1)}B=AXB=D$$充分性得证
必要性：
已知$AXB=D$有解，那么$$D=AXB=A{A}^{(1)}AXB{B}^{(1)}B=A{A}^{(1)}D{B}^{(1)}B$$接下来证明通解。

通解有两个含义：1，解集中的任何元素为方程的解。2，方程的任意解均可以由集合中的元素表示出来
将$X=A^{(1)}D{B}^{(1)}+Y-A^{(1)}AYB{B}^{(1)}$带入可得$$AXB=A(A^{(1)}D{B}^{(1)}+Y-A^{(1)}AYB{B}^{(1)})B=A{A}^{(1)}D{B}^{(1)}B+AYB-AYB=D$$
再证明第二点：$$AXB=D$$ $$X=A^{(1)}D{B}^{(1)}+X-A^{(1)}D{B}^{(1)}=A^{(1)}D{B}^{(1)}+X-A^{(1)}AXB{B}^{(1)}$$对应于$Y=X$的情况。

3.2 推论

• 线性方程组$AX=b$有解的充要条件为：$A{A}^{(1)}b=b(取B为I_n),$通解为$\{A^{(1)}b+y-A^{(1)}Ay|y为列向量\}$
• $A\{1\}(AXA=A的解)$为如下集合$\{A^{(1)}D{A}^{(1)}+X-A^{(1)}AXA{A}^{(1)}\},$四个$A\{1\}$可互不相同
  

极小范数解

对通解的理解还是有点欠缺