几道线段树题

学习了几天线段树，做了几道线段树题，挺有成就感的\(^o^)/~


 

POJ2528 Mayor's posters

    线段树入门题。题目抽像出来就是：给你一根长为L（L = 10000000）的数轴，然后给出N（N <= 10000）组区间[Li, Ri]将数轴对应部分染颜色i，后面染的颜色的会把前面的给覆盖掉。最后要求出数轴上总共有多少种颜色。由于数轴很长，直接建线段树肯定会超时，而N很小，所以考虑离散化。比如给出的区间是：[1, 4]、[4, 1000000]，我们把端点去重后排序：1、4、1000000，然后给定离散化值：1、2、3。然后区间就变成[1, 2]、[2, 3]了，变小了，所以肯定就不会超时啦！但Discuss里有大牛说这样离散化是有问题的，比如给出几个区间：[1, 10]、[1, 2]、[7, 10]，去重排序：1、2、7、10，离散化：1、2、3、4，则区间变为[1, 4]、[1, 2]、[3, 4]。看，问题来了吧？这样做我们的结果是2（种不同颜色），而实际结果是3（种不同颜色）。原因就是3~6这一段被我们消掉了！注意一下排序过程：1、2、7、10，显然2和7之间的东西会没的。所以我们重新用一种离散化方式，当排序后相邻点距离大于1，则离散量+2，否则+1。于是离散化后变成：1、2、4、6，即区间变为[1, 6]、[1, 2]、[4, 6]，得到的结果仍然是3。

    然后不知道是哪位大牛的解题报告说要把区间倒着插入，这样有一个好处是不需要考虑覆盖问题。但我超时了好多次啊！后来参考他的牛码，发现他竟然也是正着插入的，我狂晕！然后我改为正着插入就很快AC了，高兴啊！

POJ2828 Buy Tickets

    这道题还是蛮有意思的（恩，题目很有意思），讲的是插队的过程。售票员的位置是0，然后有N个人，每个人都插队，第i个人可以插他前面0~i-1个人的队，即跑到那个人后面。要求出最终队列。解释一下样例：

4　　　　//4个人
0 77　　//第1个人（他/她的编号是77）插第0个人的位置
1 51　　//第2个人（他/她的编号是51）插第1个人的位置
1 33　　//第3个人（他/她的编号是33）插第1个人的位置
2 69　　//第4个人（他/她的编号是69）插第2个人的位置

有图有真相哦(*^__^*) 嘻嘻……

最终队列就是77 33 69 51。

做法是倒着插，因为最后一个人的位置一定是确定的，所以我们可以确定最后一个人的位置（木有错吧？）。然后，剩下的人也以同样的方式，插第k个人的位置表示前面有k个空格。比如上面的例子，先确定最后一个人的位置：[空, 空, 69, 空]。然后剩下三个人的位置肯定在空的位置处（并且他们是连在一起的，因为队伍肯定是连续的嘛），我们在插第三个人（1, 33）的时候，可以想像前两个人已经存在了，但不知道他们的位置在哪里，不管，反正它们是连续的（肯定是第一和第二个空），我只要前面有1个人（空格），然后插入即可（此时第二个人会被移到第四个格，不管它，想像而已，嘻嘻），然后变成[空, 33, 69, 空]。然后就照这样下去插就完成了。线段树的结点存放这一段里面有多少个空格，然后就可以很快地确定要插入的位置了，好棒啊！

POJ2777 Count Color

    同第一题类似，抽象出来就是：给一根长度为L（L <= 100000）的数轴，一开始数轴上都是颜色1。然后给出O个操作，两种形式，一种是C L R COL，表示把数轴[L, R]这一段染成颜色COL（COL <= 30）；另一种形式是P L R，表示询问[L, R]这一段上有多少种不同的颜色。

    这题比较好的地方就是不用离散化，然后由于颜色数很少，可以用位来表示。结点存放颜色信息，比如这一段上有颜色1, 4, 7，就用一个32位数表示001001001。而两段上面的颜色就是这个信息的一个或。

POJ2750 Potted Flower

    变态题啊！给一个有N个结点的环，每个结点上各一个可正可负可零的数值。现要取连续k个结点（1 <= k <= N - 1）的一段，使这一段的和最大。并且会经常出现修改某个结点的值的情况发生的，每修改一次就要输出一个最大的和。

    把环拆成链1, 2, ..., N，一开始以为，只要找出链中和最小的那一段，然后用总和减去那一段就是最大和，可后来发现错了。比如要取的这一段是在中间：ABBBBBA，那么这种假设就不成立了。想一想所有可能出现的情况：一种是该链中某段得到最大和，另一种是链的前一部分和后一部分连起来构成最大和。对于后一种情况，其实就造价于找出链的最小和，用总和去减。所以，我的线段树一定要存储该段内的连续最大和与连续最小和，然后取这两种情况的最大值即是题目要求。为了得到最大和与最小和，结点存放的信息有：该段区间总和Sum、区间最大和VMax，区间最小和VMin，区间左端点开始连续的一段的最大和值LMax与最小和值LMin, 区间右端点开始连续的一段的最大和值RMax与最小和值RMin。然后以最大值为例有：

Sum[I] = Sum[L] + Sum[R]

LMax[I] = max(LMax[L], Sum[L] + LMax[R])

RMax[I] = max(RMax[R], Sum[R] + RMax[L])

VMax[I] = max(VMax[L], VMax[R], RMax[L] + LMax[R])

然后，由于不能取走N个点，需要加个判断：如果全总为正数（因为只有这种情况才会取走N个点），就用总和减去最小段和。否则，就取max(VMax, Sum - VMin)。