Gilbert Strang的线性代数课程笔记-第七课

第七课的主题为：矩阵A的零空间（Null Space）的求解方法

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第一部分

解释矩阵中列与列的独立性、矩阵的秩、支点列与支点变量、自由列与自由变量、矩阵零空间的普通求解

假设有矩阵A：

通过对A中列的观察可得：

1. col2是col1的两倍，因此col2与col1不独立

2. col4可由2*（col3-col1）得到，因此col4与col1、col3不独立

以上事实中，事实1相较事实2来说更显而易见。

那么这些明显或不明显的事实如何得到？通过矩阵消元。

对A进行消元：

消元的第一步：以A11的元素”1”为支点进行操作

消元的第二步：首先考虑以A22的元素为支点进行操作，若A22的元素为0，则向下搜寻col2中非0的元素，并进行行交换把非0值所在行换至第二行，再以交换后A22的元素作为支点进行操作

然而本例中col2里A22以下的元素均为0，这说明col2与其它列具有依赖关系，为非支点列，也可以称为自由列（free columns）

此时需转向col3，取A23的元素作为支点，继续进行操作：

消元结束后得到了一个梯形形态（echelon form）的U

此处有概念：

支点所在的列，称为支点列，支点所在列对应的变量，称为支点变量

非支点所在的列，称为自由列，非支点所在列对应的变量，称为自由变量

矩阵的秩 等于 矩阵支点的数目

当前状况下，我们知道col1、col3为支点列，col2与col4为自由列

自由列为什么是自由列？因为他们与其它列有依赖关系，它们可由其它列的组合而得，因此它们对应的参数可以任意取值而不影响结果（例如col2与col1的依赖关系、col4与col1、col3的依赖关系）

通过对自由变量任意取值（其实是有技巧地去任意取值），可以得到支点变量间的关系，进而得到零空间。

先将U还原为方程形式：

当对自由变量取x2 = 1，x4 = 0时，可得一组解

当对自由变量取x2 = 0，x4 = 1时，可得一组解

将之组合起来可以得到整个解（零空间）

对自由变量的任意取值方法实则为：对各自由变量轮流取1（其余为0）

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第二部分

用R矩阵求解，R = reduced row echelon form (rref)

什么是R矩阵：R矩阵由U矩阵经过两个变换而得：将支点上下的值都化为0；将支点的值都化为1

此时支点所在列只有支点本身为1，其余均为0，可以联想到：单元矩阵

那么我们将支点列放在一起，自由列放在一起，并将单元矩阵称为I，自由列构成的矩阵称为F：

注意：此处把支点列放在一起，把自由列放在一起，是通过对col2与col3进行交换

那么求解零空间，即是求解

，也就是

可以发现，等式在时成立！

由于刚刚在【把支点列放在一起，把自由列放在一起】的过程时，对col2、col3进行了交换，因此得到x的两组解

 将变量的顺序换回：

整理后，解与之前的式子相符：

我们可以由此得出结论

Ax = 0的解（即A的零空间）为：