主成分分析——SPSS实操

主成分分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。注意：只有在指标个数特别多，且指标之间存在很强的相关性时，才能用主成分分析。（否则做出来效果不好）

主成分的特点：

主成分个数远远少于原有变量的个数

主成分能够反映原有变量的绝大部分信息：因子并不是原有变量的简单取舍，而是原有变量重组后的结果。

主成分之间应该互不相关：通过主成分分析得出的新综合指标（主成分）之间互不相关，由此解决多重共线性的问题。

主成分具有命名解释性

主成分分析法的主要任务有两点：
（1）确定各主成分Fi关于原变量Xj的表达式，即系数aij。

每一个主成分所提取的信息量可用其方差来度量。例如，方差Var(F1)越大，表示F1包含的信息越多。常常希望第一主成分F1所含的信息量最大。因此，在所有的线性组合中选取的F1应该是X1, X2, …, Xp所有线性组合中方差最大的，故称F1为第一主成分。

（2）计算主成分载荷。主成分载荷是反映主成分Fi与原变量Xj之间的相互关联程度：

主成分分析的具体步骤如下：
（1）计算协方差矩阵Σ=（sij）p×p：

（2）求出Σ的特征值λi及相应的正交化单位特征向量。
Σ前m个较大的特征值λ1≥λ2≥…≥λm＞0就是前m个主成分对应的方差，λi对应的单位特征向量aij就是主成分Fi关于原变量的系数。主成分的方差（信息）贡献率用来反映信息量的大小：

（3）选择主成分：最终要选择几个主成分是通过方差（信息）累计贡献率G（m）来确定。

当累积贡献率大于85%时，就认为能足够反映原来变量的信息。
（4）计算主成分载荷，原来变量Xj在诸主成分Fi上的荷载。

 

（5）计算主成分得分，计算样品在m个主成分上的得分：
Fi=ai1X1+ai2X2+…+aipXp
实际应用时，指标的量纲往往不同，所以在主成分计算之前应先消除量纲的影响。消除数据的量纲有很多方法，常用方法是将原始数据标准化，即做数据变换等。

 题目：

采用spss做主成分分析十分方便，这里直接用spss了

①导入数据，由于本题的五个指标都是费用指标，量纲是一致的，所以暂时不做数据标准化。

②分析—降维—因子

 

 

③结果分析：

相关性矩阵：变量间相关性越高，越适合进行主成分提取；

KMO值＞0.5，球形度检验P＜0.05，适合做主成分分析；

公因子方差：除了农药费，其他指标的信息提取度还不错

 基于特征值＞1的标准，系统提取出1个主成分，成分的特征值为4.095，可以解释总变异的81.891%，而若提取两个主成分可以使解释度达到97.744%，因此决定提取两个主成分。

碎石图中也可以看出，处在山坡上的有成分1、2，而3以后的就很平坦。

 重新调整设置：

新的结果： 

 成分矩阵：但其中的系数并非成分系数。

 

主成分的计算：

新建一个spss空白数据（ctrl加N），将成分矩阵的数据复制进去

 

分别计算主成分系数：

  主成分系数=成分系数1除以根号下成分1的特征值

分别计算，得出b1、b2结果： 

 原始数据标准化，以便后续生成主成分公式：

 计算主成分：主成分的计算公式为 主成分系数乘以标准化后的X

 得出主成分对每个个案的衡量：

 

 

主成分还可以进一步做主成分回归、主成分聚类。

题目来源：清风建模

参考书目：《数学建模》邬学军

《SPSS实战与统计思维》武松

本文仅用于自用笔记整理，方便复习。