因果推理（四）：因果模型

因果模型对于因果量的确定是很重要的。在前面的学习中，我们将“确定”（identification）描述为将因果估计转换为统计估计的过程。确定-估计（Identification-Estimation）的流程如下图：

1. Do-算子和干预（interventional）分布

首先需要区别给定条件（condition）和干预（intervention）的概念。给定条件T=t的意思是我们只看在总体中treatment为t的子集；而intervention的意思是将总体中左右个体的treatment设为t。我们用do-算子表示intervention：$do(T=t)$。这是图形因果模型中常用的表示法，并且在潜在结果表示法中具有相同的表示法。例如，可以将第二讲中的潜在结果表示为：

$P(Y(t)=y)=P(Y=y|do(T=t))=P(y|do(t))$

在上式中将$do(T=t)$简写为$do(t)$。此外，全概率可表示为$Y|do(t)$。通常将$P(Y|do(T=t))$的形式叫做interventional distributions。

需要注意形如$P(Y|do(T=t))$的干预性分布（interventional distribution）和形如$P(Y)$的观察分布（observational distribution）的区别。观察分布不带do算子，是不需要任何实验和干预就可以得到的变量分布。如果可以将带do算子的表达式（干预性表达式）转换为不带do算子的表达式（观察行表达式），就说这个表达式是可识别的（identifiable）。通常，将包含do算子的估计称为因果估计，将不包含do算子的估计称为统计估计。

带do算子的表达式中的所有变量都处于一个干预后的世界。（这里14节细讲）

2. 模块化假设（modularity）

在介绍模块化假设之前，需要先介绍因果机制（causal mechanism）的概念。可以将产生$X_i$的因果机制理解为给定$X_i$的所有原因的$X_i$的条件概率分布：$P(x_i|p{a}_i)$。如下图所示，生成$X_i$的因果机制由$X_i$的所有父节点和指向$X_i$的所有边组成。

为了获得许多因果识别结果，我们将做出的主要假设是干预（iinterventions）是局部的。 更具体地说，我们假设对变量$X_i$的干预只会改变$X_i$的因果机制。 它不会改变产生任何其他变量的因果机制。 从这个意义上说，因果机制是模块化的。

模块化（modularity）假设：如果对节点集合$S\subseteq [n]$进行干预，将它们设为常量，那么对于每一个i，有：
（1）如果$i\notin S$，那么$P\left(x_i\mid {\mathrm{p}\mathrm{a}}_i\right)$保持不变。
（2）如果$i\in S$，那么当$x_i$为$X_i$被设为的值时$P\left(x_i\mid {\mathrm{p}\mathrm{a}}_i\right)=1$；否则，$P\left(x_i\mid {\mathrm{p}\mathrm{a}}_i\right)=0$。

介入性分布的因果图（操纵图，manipulated graph）与观察性关节分布所使用的图完全相同，只是介入节点的所有边都被删除。这是因为干预因素的概率已设置为1，因此我们可以忽略该因素的所有因。

3. 截断式因式分解（Truncated Factorization）

回顾一下贝叶斯网络因式分解：

$P\left(x_1,\dots ,x_n\right)={\prod }_{i}P\left(x_i\mid {\mathrm{p}\mathrm{a}}_i\right)$

现在，如果我们干预一组节点$S$并假设其符合模块化（modularity），则除$X_i\in S$的因式外，所有因式都应保持相同；而$X_i\in S$的节点的因式变为1（值与干预一致时）。

截断式因式分解（Truncated Factorization）：我们假设$P$和$G$满足马尔可夫假设和模块化。 给定一组干预节点$S$，
如果$x$与干预一致，则
$P\left(x_1,\dots ,x_n\mid do(S=s)\right)={\prod }_{i\notin S}P\left(x_i\mid {\mathrm{p}\mathrm{a}}_i\right)$.
否则，$P\left(x_1,\dots ,x_n\mid do(S=s)\right)=0$.

从贝叶斯网络因式分解变为上面的截断式分解的关键是，后者的乘积建立在$i\notin S$而不是全部的$i$之上。 换句话说，$i\in S$的因子已被截断。

下面给出一个用截断因式分解计算因果量的例子。

根据贝叶斯网络因式分解：$P(y,t,x)=P(x)P(t\mid x)P(y\mid t,x)$

根据截断因式分解：$P(y,x\mid do(t))=P(x)P(y\mid t,x)$

边缘化X：$P(y\mid do(t))={\sum }_{x}P(y\mid t,x)P(x)$

4. 后门调整

回顾第3讲，因果关联从$T$到$Y$沿着有向路径流动，非因果关联沿着从$T$到$Y$的且满足以下约束的任何其他路径流动：1）非对撞节点在条件集中；2）对撞节点不在条件集中。 这些从$T$到$Y$的无方向无阻塞路径称为后门路径（backdoor paths）。 事实证明，如果我们可以通过调节条件来阻止这些后门路径，则可以确定形如的因果量$P(Y\mid do(t))$。

后门标准（Backdoor Criterion）：如果满足以下条件，则一组变量$W$满足从$T$到$Y$的后门标准：

1. $W$阻止从$T$到$Y$的所有后门路径。
2. $W$不包含$T$的任何后代。

满足后门准则使$W$成为充分调整集（sufficient adjustment set）。

后门调整（Backdoor Adjustment）：给定模块化假设，且W满足后门标准，则可以确定$T$作用在$Y$上的因果效应：
$P(y\mid do(t))={\sum }_{w}P(y\mid t,w)P(w)$

证明：
$\begin{array}{rl}P(y\mid do(t))& =\sum _{w}P(y\mid do(t),w)P(w\mid do(t))\\ & =\sum _{w}P(y\mid t,w)P(w\mid do(t))\\ & =\sum _{w}P(y\mid t,w)P(w)\end{array}$

5. 结构因果模型(Structural Causal Models , SCMs)

结构方程

在因果模型中，用记号$:=$来表示因果关系，A是B的因可以记为：$B:=f(A)$或$B:=f(A,U)$，这样的式子被称为结构方程，其中$U$是未被观测到的随机变量。

利用结构方程，我们可以对因果图进行建模。

上图的因果图可以建模为M：

$\begin{array}{rl}B& :=f_B\left(A,U_B\right)\\ C& :=f_C\left(A,B,U_C\right)\\ D& :=f_D\left(A,C,U_D\right)\end{array}$

在因果图中，未被观测到的变量U通常不会显式画出。我们为之编写结构方程的变量称为内生（endogenous）变量。 这些是我们正在建模其因果机制的变量-在因果图中具有父节点的变量。 相反，外生（exogenous）变量是因果图中没有任何父节点的变量。例如，上图中的内生变量为$\{B,C,D\}$，外生变量为$\left\{A,U_B,U_C,U_D\right\}$。

结构因果模型（Structural Causal Model , SCM）是以下集合的元组：
1）一组内生变量$V$
2）一组外生变量$U$
3）一组函数$f$，其因变量为一个内生变量，自变量为其他变量。

干预（interventions）

在SCM中，如果干预$do(T=t)$表示为将T的结构方程改为$T:=t$。例如，对于下列SCM $M$：

$T:=f_T\left(X,U_T\right)$
$Y:=f_Y\left(X,T,U_Y\right)$

对T进行干预后的模型为$M_t$：

$T:=t$
$Y:=f_Y\left(X,T,U_Y\right)$

上述的例子中，控制T只改变了T的结构方程，其他变量的结构方程并没有发生改变，这也反映了模块化假设，即说明因果机制（结构方程）是模块化的。

对撞偏倚以及为什么条件集中不包含干预变量的后代节点

在为后门调整定义后门准则时，我们不仅指定调整集$W$阻止所有后门路径，而且还指定$W$不包含$T$的任何后代。 为什么？ 如果我们以$T$的后代为条件，则可能会发生两类错误：

1. 阻止因果关系从$T$到$Y$。
2. 引起$T$和$Y$之间的非因果关联。

如果我们以从$T$到$Y$的有向路径上的节点为条件，那么我们将阻止因果关系沿该因果路径流动。 例如，在下面两个图中，控制$M$分别阻塞了全部和部分因果路径。


如果以不在从$T$到$Y$的有向路径上的$T$的后代节点为条件，则它可能会打通被对撞节点阻塞的关联路径，如下图以Z为条件。

此外，对于下图，如果以Z为条件，会打通$T$与$U_M$之间的关联路径，从而对$T$到$Y$的因果路径产生影响。

后门标准的这一准则通常被描述为：不以干预后变量为条件。

但有时，仅仅以干预前变量为条件也会引入偏倚，例如M偏倚：

例子

问题：钠摄入量对血压的影响
数据：Luque-Fernandez et al. (2018)
干预T：钠摄入量（高于3.5mg值为1，否则为0）
结果Y：血压（连续）
协变量：W 年龄；Z 尿蛋白含量

首先画出因果图：

我们现在想要得到的是一个因果估计量：$E(Y|do(t))$

分析因果图，要想得到因果估计量，需要进行后门调整，截断T←W→Y这条后门路径，因此需要控制W。注意，因果图中Z为对撞节点，不能对其进行控制。基于此，将因果估计量转为统计估计量：$E_{W}E[Y|t,W]$