矩阵求导公式大全_视觉slam | 李群和李代数 特征正交群 SO(3)与特殊欧式群SE(3) 推导、映射、BCH求导...

目的

• 旋转矩阵无法直接加该变量，加过之后无法继续满足性质：
• 需要对R（旋转量）求导做优化->如何对带有约束的旋转量求导

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概念

• 向量与矩阵转换：

• 群：群（Group）是一种集合加上一种运算的代数结构。我们把集合记作 A，运算记作 ·，那么群可以记作 G = (A， ·)。群要求这个运算满足：封闭性、结合律、幺元、逆。

• 李群(lie group):指具有连续（光滑）性质的群，是群也是流形。刚体可以在空间中连续运动，故SO(3)和SE(3)都是李群，只有定义良好的乘法，无加法，难以取极限、求导->做近似、分析。
• 李代数：正切空间，每个李群都有与之对应的李代数，位于向量空间，是李群单位元处的正切空间。用小写so(3)和se(3)表示。可以定义加法。李代数由一个集合 V，一个数域 F 和一个二元运算 [,] 组成。如果它们满足以下几条性质，称 (V; F; [, ]) 为一个李代数，记作 g。

• BCH公式与近似形式

因为有指数上和与乘的对应，因此猜测在李代数和李群上有没有和与乘的对应

如果其中一个为小量，则可以近似对数结果为：

其中：

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三维旋转矩阵李代数的推导：

• 旋转矩阵的求导：

• 旋转矩阵近似求解：对任意t,可以找到R与φ的对应关系，由指数映射得到矩阵，并回李群

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三维旋转矩阵->特征正交群 SO(3)->so(3)

• SO(3)李群性质：对加法不封闭，对乘法封闭

李括号运算定义：三维空间向量+叉积运算->构成李代数

• so(3)李代数: 物理意义为旋转向量

• 指数映射：由李代数求李群-> R=exp(φ^) ->由反对称矩阵加指数求R旋转矩阵

• 对数映射 : 实际上使用矩阵到向量的转换关系求解角度和轴

• BCH公式

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三维变换矩阵->特征欧式群 SE(3)->se(3)

• 性质：对加法不封闭，对乘法封闭

• 李括号定义：

• se(3)李代数

• 指数映射

• 对数映射

• BCH近似公式

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李代数求导与S0(3)、SE(3)求导

• 一个点p经过旋转矩阵R，得到Rp，其关于旋转的导数可定义为：
• 导数模型SO(3)：R对应的李代数+小量，求相对于小量的变化率

• 扰动模型SO(3)：R左乘小量，求相对于小量的李代数的变化率

• 扰动模型SE(3)：李代数扰动模型左乘求导