连续时间信号的频域分析

基础知识回顾

连续时间周期信号(周期为T)的傅里叶级数展开

傅里叶复系数，基波频率  

连续时间非周期信号的傅里叶变换对

1、周期矩形脉冲信号的指数形式傅里叶级数

% 计算并画出周期矩形脉冲信号的双边幅度谱和相位谱。
clc;clear;close all
A = 1;    % 幅度 
tau = 0.1; % 脉冲宽度
T = 0.5;  % 周期
Omega_0 = 2*pi/T;  % 基波频率 Ω0
K = 2*pi/tau/Omega_0; 
k = 0 : 2*K;
F_k = A*tau/T*sinc(k*Omega_0*tau/2/pi);  % 系数F_k
F_k_mag=abs(F_k);      % F_k的幅度
F_k_phase = angle(F_k);  % F_k的相位
k= -2*K : 2*K;
F_k_mag = [fliplr(F_k_mag(2:end)) F_k_mag]; % fliplr:左右翻转矩阵
F_k_phase = [ -fliplr(F_k_phase(2:end)) F_k_phase];
subplot(2,1,1)
stem(k*Omega_0, F_k_mag);
xlabel('k \Omega_o');
ylabel('magnitude');
grid
subplot(2,1,2)
stem(k*Omega_0, F_k_phase);
xlabel('k \Omega_o ');
ylabel('phase');
grid

T = 0.5 时周期矩形脉冲信号的双边幅度谱和相位谱

当周期参数 T增大时：

T = 0.5 时周期矩形脉冲信号的双边幅度谱和相位谱

T = 0.5 时周期矩形脉冲信号的双边幅度谱和相位谱

2、周期矩形脉冲信号的各次谐波的叠加

周期矩形脉冲信号：

三角形式傅里叶级数：， 其中

 前N次谐波进行叠加，得到。

% 来计算画出前N次谐波叠加得到的周期矩形脉冲信号近似波形。
clc;clear;close all
t = -2 : 10^(-4) : 2;
A = 1;
tau = 1; % 脉冲宽度
T = 2;  % 周期
Omega_0 = 2*pi/T;  %基波频率
c0 = A*tau/T; 
N = input('N=');
f_N = c0 * ones(1,length(t));  %f_N(t)
for k= 1 : 1 : N  
     f_N = f_N + 2*A*tau/T *sinc(k*Omega_0*tau/ 2/pi) *cos(k*Omega_0*t);
end
plot(t, f_N);
xlabel('t');
ylabel('f_N(t)');
title(['N=',num2str(N)]) 
axis([-2 2 -0.2 1.2]);

N=25 的图

N=50 的图

N=1000 的图

由图观察可知：随着N的增大，合成波形越来越接近原有的矩形脉冲信号。

吉布斯现象：

将具有不连续点的周期函数（如矩形脉冲 ) 进行傅立叶级数展开后， 选取有限项进行合成。当选取的项数越多，在所合成的波形中出现 的峰值越靠近原信号的不连续点。当选取的项数很大时，该峰值趋于一个常数，这就称作吉布斯现象（又名吉布斯效应）。