[矩阵论]Jordan标准形中Jordan块阶数与个数的确定

Jordan标准形变换是一种相似变换，该变换所得到的Jordan标准型矩阵具有准对角特点。
一般的Jordan标准形具有如下特点：$$J=diag[J_1({\lambda }_1),J_2({\lambda }_2),...,J_n({\lambda }_n)]$$
其中，每个Jordan块的形式如下：$$J_n({\lambda }_n)=\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_n& 1& & & \\ & {\lambda }_n& 1& & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n& 1\\ & & & & {\lambda }_n\end{array}\right]$$
那么，计算Jordan标准形的要点就是求解其所有的${\lambda }_i$，并确定该特征值下Jordan块的阶数。
设需要求解Jordan标准形的矩阵为$A$，又令$B\sim A$，那么存在可逆矩阵$P$使得$A=PB{P}^{-1}$。对于$A-\lambda I$，有$(A-\lambda I)=(PB{P}^{-1}-\lambda P{P}^{-1})=P(B-\lambda I)P^{-1}$成立，故$(A-\lambda I)\sim (B-\lambda I)$。
由于矩阵$A$的Jordan标准形$J$与$A$相似，那么根据相似矩阵的传递性可知$B\sim J$，则$rank(B)=rank(J)$，且根据前面结论，有$rank(B-\lambda I)=rank(J-\lambda I)$，下面对矩阵$(J-\lambda I)$进行分析。
由于矩阵$J$为$A$的Jordan标准形，那么对于$A$的一个特征值${\lambda }_1$，有：
$$(J-{\lambda }_{i}I)=J_{m1}(0)\oplus J_{m2}(0)\oplus \cdots \oplus J_{mp}(0)\oplus J(\lambda )$$
注意到该矩阵经过初等变换后将幂零Jordan块$J_m(0)$排列于行列序号较小的位置，且$J(\lambda )$是所有特征值不为${\lambda }_i$的Jordan块的集合，并假定其秩为$m$，则有：
$$rank(J-{\lambda }_{i}I)=rank{J}_{m1}(0)+\cdots +rank{J}_{mp}(0)+rankJ(\lambda )$$
那么同理：
$$rank(J-{\lambda }_{i}I{)}^k=rank{J}_{m1}(0{)}^k+\cdots +rank{J}_{mp}(0{)}^k+rankJ(\lambda {)}^k$$
由于幂零矩阵$J_l(0)$的秩随着其幂次增多逐渐减少，且通过归纳可以得到如下规律：$rank{J}_l(0)=l-1$，$rank{J}_l(0{)}^2=l-2$，$\cdots$，$rank{J}_l(0{)}^k=l-k$，$\cdots$，$rank{J}_l(0{)}^l=0$，即：
$$rank{J}_l(0{)}^k=\{\begin{array}{ll}l-k& \text{l−k≥0,}\\ 0& \text{l−k<0}.\end{array}$$
由此可以对$(J-{\lambda }_{i}I)$进行幂运算，可以发现，$n-rank(J-{\lambda }_{i}I)$的值就是Jordan标准形中以${\lambda }_i$为特征值，且秩至少为1的Jordan块的个数；同理，$rank(J-{\lambda }_{i}I)-rank(J-{\lambda }_{i}I{)}^2$的值就是Jordan标准形中以${\lambda }_i$为特征值，且秩至少为2的Jordan块的个数，那么可以进行如下定义：
$$\begin{gathered} B=J-{\lambda }_{i}I \\ {w}_k=rank{B}^{k-1}-rank{B}^k \\ {p}_k=w_k-w_{k+1}=(rank{B}^{k-1}-rank{B}^k)-(rank{B}^k-rank{B}^{k+1}) \end{gathered}$$
其中$p_k$是以${\lambda }_i$为特征值，阶数为$k$的Jordan块的个数。
特别地，规定：
$$w_1=n-rankB$$
这样，就可以得到以${\lambda }_i$为特征值的Jordan块的个数及每个Jordan块的阶数。
值得注意的是，由于在计算$p_k$的过程中仅用到了矩阵$B$的秩，故在实际计算中可以取$B=A-{\lambda }_{i}I$进行计算。