算法学习笔记：网络流#3——dinic 求解最大流
算法学习笔记：网络流#3——dinic 求解最大流
- 1. 前言
- 2. 模板
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- 2.1 详解
- 2.2 正确性证明
- 2.3 代码
- 2.4 优化
- 3. 总结
1. 前言
本篇博文讲解求解最大流的 dinic 算法。
在学这篇博文之前，请先确保掌握以下知识：
- 网络流的一些基础定义，参见：算法学习笔记：网络流#1——有关内容+算法导航
- FF 与 EK 求解最大流的思路，参见：算法学习笔记：网络流#2——EK 求解最大流
下面假设读者已经掌握上述内容。
先来回顾 EK 求解最大流的思路：利用 BFS 不断寻找增广路，不断推流，直到找不到增广路为止。
而 FF 求解最大流的思路：利用 DFS 不断寻找增广路，不断推流，直到找不到增广路为止。
上文中作者提到过，FF 求解最短路效率低下的问题就是因为 DFS 复杂度太高了。
但是：
Dfs 的实现方式虽然暂时无法取得好的效果，但我们并不应该就此放弃，Dfs 相对 Bfs 灵活的架构必能给予我们广阔的优化空间。——《信息学奥赛一本通——提高篇》
所以我们要想想如何优化 DFS。
发明 EK 算法的科学家 Dinic 也意识到了这一点，于是他就在 FF 的基础上加以改进，提出了大名鼎鼎的 dinic 算法，也是目前网络流的主流算法之一，甚至有的人这么说：99% 的网络流问题，都可以用 dinic 通过。
没错，FF 是 Dinic 发明的
接下来就开始讲解吧！
2. 模板
模板题：P3376 【模板】网络最大流
2.1 详解
首先我们需要知道 DFS 复杂度为什么高。
假设当前网络构成了一个环，而且边的流量都是 I N F INF INF，于是不管这个环里面流进了多少流量，终将无休止的循环。
那么怎样解决这个问题呢？最显然的一个思路就是控制一下循环层数。
当然这样代码太烦了，于是就有另外一个思路：能不能控制一下点的去向呢？
换句话说，能不能控制一下大体流量的走向呢？
这就是 dinic 算法的主要思路。
dinic 算法的第一步，便是对网络分层。
换句话说，从源点开始，标记源点深度为 1，其能到达的点深度为 2，以此类推。
然后，再开始 DFS，规定只能从层数小的流向层数大的。
但是这样仍然有一个问题，看图：
（绘图工具：Windows 10 的 Microsoft Whiteboard）
在上图中，您会发现：如果 1 号点不幸的选择了 2 号点，那么就要绕一大圈才能到 t t t，但是实际上只需要经过 150 号点就可以了呀！
因此为了防止这种情况，规定：流量只能在相邻两层之间流动。
这样就可以完美避免了这个问题，但是正确性呢？
仍然正确！见后面的正确性证明。
现在先回到这个问题，假设有一个点推流推不出去了，这说明什么？
这说明这个点已经与汇点不在连通了！这个时候，需要将这个点的层数改为 0，节省时间。
2.2 正确性证明
证明如下：
考虑 FF/EK 算法的终止条件是没有增广路，那么 dinic 也是没有增广路。
在这样分层之后，如果图中还有增广路，那么在 BFS 分层的时候一定会扩展到这条增广路，而最后的终止条件就是没有增广路。
证毕。
2.3 代码
代码如下：
/*
========= Plozia =========
Author:Plozia
Problem:P3376 【模板】网络最大流——dinic 求解
Date:2021/3/18
========= Plozia =========
*/
#include 2.4 优化
dinic 算法的很重要的一个优化就是当前弧优化。
当前弧优化的意思是这样的：
每一次增广路的时候记录一下当前走到哪一条边（弧）了，下一次到这个点推流的时候直接从这条边开始遍历。
为什么是正确的呢？
显然，已经遍历过的边肯定已经推完了所有流量，也就是再推流也没有用，只有当前这条边可能可以再推流，那么从这条边开始遍历即可。
当前弧优化的代码如下：
/*
========= Plozia =========
Author:Plozia
Problem:P3376 【模板】网络最大流——dinic 求解
Date:2021/3/18
========= Plozia =========
*/
#include 3. 总结
dinic 算法的基本步骤：利用 BFS 分层，然后利用 DFS 不断寻找增广路，能推流就推流。
实际上，dinic 算法已经足够高效了，但是很遗憾的是 dinic 在特殊构造的数据下仍然会被卡掉，这个时候就需要一种更高效的算法：ISAP 出场了！
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