高等数学笔记-导数

导数（Derivative，导函数(值)，微商）

定义：

  设函数y=f(x)在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量x在$x_0$处有增量Δx，($x_0$+Δx)也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f($x_0$+Δx)-f($x_0$)；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点$x_0$处的导数记作:

  ①$f^{\prime }$(x0);   ②$y^{\prime }\mid$x=x0  ③$\frac{dy}{dx}|$x=x0   即：

  $f^{\prime }$(x0)=$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }$$\frac{\Delta y}{\Delta x}$=$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$=$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0)-f(x_0-\Delta x)}{\Delta x}$

割线：一条直线与一条弧线有两个公共点，则该直线为曲线的割线。
切线：切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同。

观察该图可发现，过该条曲线有两条直线，紫色为割线$P_{0}P$，红色为$P_0$的切线，当割线上点P无限靠近点$P_0$时候（弦长$|P_{0}P|\to 0$,$\angle \phi -\angle \alpha \to 0$），割线则变成了切线。
割线斜率：
  $k=tan\phi =$$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=$$(\frac{y-y_0}{x-x0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}).$
切线斜率：
  $k=tan\alpha =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }$$\frac{\Delta y}{\Delta x}$$=\underset{x\to x_0}{\lim }$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$

  可以发现这与导数的定义完全一致，由此我们知道导数应用到了极限的概念，故极限的相关规则都适用于导数。
（极限存在必须左极限=右极限都存在且相同，导数同样需要满足左导数=右导数都存在且相同，极限的四则运算同样适用于导数的四则运算）
  当我们求某一点的导数，实际上就是求某一点的切线斜率。而该点切线的方向与曲线的方向是一致的，故可以曲线也可以用无数条切线来表达。
——导数的本质：通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近，“以直代曲”。

  观察上图，使用切线来表示一条曲线，曲线形状的不同表现在每条切线斜率上，当切线斜率越大（越小/>0/<0），则曲线就越抖（越缓/递增/递减）,故切线斜率能反应出之后的运动趋势（曲线上从一点如何向另一点变化，导数能分析变化，表示未来趋势），把整个函数想象成坐过山车。曲线为过山车的轨道，曲线上的黑点为乘客，若乘客在某点被甩飞，则飞出的方向为曲线切线方向。

曲线斜率：
  曲线的上某点的斜率则反映了此曲线的变量在此点处的变化的快慢程度。

函数（function功能）：实现一定功能，自变量根据对应法则产生因变量——刻画了变化的过程。
导数（derivitive根源）：函数的源头，对函数进行求导——刻画变化本身。
函数连续性是微积分的基础：可导必连续，连续不一定可导

PS:
  导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
  不是所有函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
  若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称不可导。
  可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
  求导实质上就是求极限的过程。
  已知原函数求导函数为导数，已知导函数求原函数为不定积分。（求导和积分为互逆操作）
  

导数与函数的性质：

单调性(一阶求导)
导数 > 0	导数 < 0	导数 = 0
单调递增	单调递减	为函数驻点（即极值可疑点）， 进一步判断则需知导函数在附近的符号.
凹凸性(二阶求导)
导数 > 0	导数 < 0	导数 = 0
函数是向下凹	函数是向上凸	曲线的拐点（凹凸分界点）