反步法设计步骤及仿真验证（非线性系统）

考虑以下单输入，单输出非线性系统：

反步法的设计思想是每一个子系统   中  为虚拟控制，通过适当的虚拟反馈,使得系统的前面状态达到渐进稳定。但是系统的解一般不满足，因此我们引入误差变量，期望通过控制作用，使得  与虚拟反馈  间具有某种渐进特性，从而实现整个系统的渐进稳定。

定义以下误差坐标变换（反步法的坐标变换）

 代表虚拟控制器

反步法设计步骤如下(不断构造李雅普诺夫函数使系统稳定)：

Step1:

定义李雅普诺夫函数为：

显而易见    >0,  对  求导得：

将    带入 得：

根据  坐标变换    可知，

为了使系统稳定，让  

即：

显然，如果  = 0,（即：），由可知，渐进稳定。但是一般情况,此时我们再引入虚拟控制  使得误差 具有期望的渐进性态。为此，我们进行下一步设计

Step2:

定义李雅普诺夫函数为：

显而易见    >0,  对 求导得：

将   带入上式可得：

将带入上式可得：

为了使得<0,设计控制器如下：

其中m为正参数 将  带入 得:

仿真验证：

设置初始值为：参数设置为：

 和 趋于稳定如图所示：

控制器如图所示：

代码如下：

stepLength = 0.002;                               
N = 100000;                                        
timeStart = 0;                                     
timeEnd = N * stepLength;                          
t = timeStart:stepLength:timeEnd ;               
k = 1;  % 迭代起始步数
% 参数
m = 25;
x1 = zeros(size(t));
x2 = zeros(size(t));
x1(:,1) = 0.1;
x2(:,1) = 0.1;
for tt = timeStart : stepLength: (N-1)*stepLength
    k
    e1 = x1(:,k);
    alpha1 = -sin(x1(:,k));
    e2 = x2(:,k) - alpha1;
    u(:,k) = -e1-m*e2 -x1(:,k)^2-x2(:,k);
    % 非线性系统
    dx1 = x2(:,k) + sin(x1(:,k));
    dx2 = u(:,k) + x1(:,k)^2 + x2(:,k);
    % 更新坐标
    x1(:,k+1) = x1(:,k) + dx1 * stepLength;                                            
    x2(:,k+1) = x2(:,k) + dx2 * stepLength;  
    k = k+1;  
end
figure
plot(t,x1,'linewidth',1.5)
hold on
plot(t,x2,'linewidth',1.5)
legend('x1','x2')
xlabel('Time(Sec)')

figure
plot(timeStart:stepLength:(N-1)*stepLength,u,'linewidth',1.5);
legend('u')
xlabel('Time(Sec)')