最优化问题——线性规划(二)

最优化问题——线性规划(二)

在之前的文章最优化问题——线性规划(一)中，我们简单的介绍了线性规划问题的引入，基本形式和图解法求解。接下来，我们开始讲述线性规划问题的一般求解过程。

1、线性规划中的一些基本概念

满足所有的约束条件的解称为可行解，所有的可行解组成的集合称为可行域。

这里，我们对线性规划的标准型进行一些变换，为了更好的理解上面的变换过程，我们下面举一个例子来说明一下：

我们给定变量$x_1,x_2,x_3$，给定下面的约束条件：
$$\begin{gathered} x_1+2x_2+3x_3=b_1 \\ {x}_1+2x_2+x_3=b_2 \\ {x}_1+2x_2+2x_3=b_3 \end{gathered}$$
进一步，我们将上面的约束抽象成矩阵的形式：
$$A=\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 1\\ 1& 2& 2\end{array}$$
同时，将变量抽象成一个矩阵的形式有：
$$x=\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}$$
对于A矩阵中的第一列，表示的是三个约束条件中关于$x_1$的系数，同理第二列和第三列也是如此。在转成上图所示的标准型之后，其求和的过程为
$$x_1+x_1+x_1+2x_2+2x_2+2x_2+3x_3+x_3+2x_3=b_1+b_2+b_3=b$$
这也就解释了上面的标准型的变化过程。

进一步，我们引入一些其他的概念：

这里的非退化的子矩阵B，代表的是矩阵B存在逆矩阵。

这里需要注意的是，B和N中的P是A中的一列。进一步，我们可以推导出如下的形式：

同时，如果非基变量不为0，则可以推导出下面的形式：

如果，非基变量为零，那么我们就可以计算出基解，我们给出基解的概念：

可行解： 满足约束条件AX=b，和各个元素$x_i>0$的解称为可行解。

我们下面举一个例子来将上面的概念再来理解一下有：

首先，我们计算出矩阵A为：
$$A=\begin{array}{cccc}1& -2& -1& 4\\ 2& 2& -2& -1\end{array}$$
根据矩阵A可以值秩为2，所有我们确定矩阵$B_{2\ast 2}$这里我们选择前两列的元素来组成B，则有B为
$$B=\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 2\end{array}$$
下面令非基变量$x_3=x_4=0$，则可以计算出来：
$$\{\begin{array}{l}{x}_1-2x_2=8\\ 2x_1+2x_2=2\end{array}$$
解的一个基解为：
$$\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{10}{3}\\ x_2=-\frac{7}{3}\end{array}$$
这样，我们计算出来了一个基解$x=(\frac{10}{3},-\frac{7}{3},0,0)$，但是其不是基可行解。

进一步，我们取矩阵A的第1列和最后一列，也就是说$x_2=x_3=0$，计算方式与上述相同，最终的计算结果为：$x=(\frac{16}{9}.0,0,\frac{14}{9}{)}^T$这是一个基解，也是一个基可行解。

进一步，我们给出可行解，基解，基可行解的关系图：

2、LP问题中关于解的相关定理

2.1 LP问题和凸集的相关特性

1. 解的存在性：如果LP的可行域(带有约束的多面体)非空，则可行域是一个凸集，且LP问题一定存在有限最优解或者无界最优解。
2. 解在顶点的可达性：若LP存在有限最优解，则最优解可以在某个顶点处达到。
3. 顶点和基本可行解的关系：$x_0$是LP的可行域的顶点的充要条件是$x_0$是LP的基本可行解。

2.1 A中的线性无关性

假设$x^0=(x_1^0,x_2^0,....,x_n^0{)}^T\in F$，则$x^0$是线性规划LP的基可行解等价于$x^0$中的各个正分量对应的A中的对应列是线性无关的。

2.2 极点

2.3 极点和解的相关定理

3、参考

1. 最优化方法——Bilibili