密码学基础算法(二)中国剩余定理
随便谷歌了一个图片做首图
原图地址: http://www.siwapu.com/etagid41968b0/
密码学基础系列:
- (一) 基于整数的欧几里得算法和扩展欧几里得算法
- (二) 中国剩余定理
- (三) 扩展域 G F ( 2 n ) GF(2^n) GF(2n) 上的多项式运算
- (四) 扩展域 G F ( 2 n ) GF(2^n) GF(2n) 上的欧几里得算法和扩展欧几里得算法
文章目录
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- 1. 问题
- 2. 求解
- 3. 代码
- 4. 测试代码和示例
- 5. 中国剩余定理的应用
- 6. 完整代码
- 7. 其它
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看书自学的一个比较大的问题就是，一旦对书中的问题有疑问，尤其是一些小的细节，很难找到人答疑。
学习中国剩余定理时(CRT: Chinese Reminder Theorem)，一直有点迷糊，没有完全明白中国剩余定理到底如何用。
陆续看了一些资料，
- 《深入浅出密码学》中没有对中国剩余定理的证明，只在 7.5.2 节中提到使用中国剩余定理快速加密
- 《密码编码学与网络安全》各版本(包括六/七/八版)中，对中国剩余定理的描述相当复杂(也可能是我太蠢了)
- 《数论概论》第三版第 11 章中，只说了中国剩余定理的表述，没有提供完整计算方式
- 《密码学原理与实践》第三版中，第 5.2.2 节对中国剩余定理有详细的证明和描述，是我见过最易懂的说明。
这里摘录一下《密码学原理与实践》中关于中国剩余定理的描述(第5.2.2节)：
(中国剩余定理) 假定 m 1 , m 2 , . . . , m r m_1, m_2, ..., m_r m1,m2,...,mr为两两互素的正整数，又假定 a 1 , a 2 , . . . , a r a_1, a_2, ..., a_r a1,a2,...,ar为整数。那么同余方程组:
x ≡ a i ( m o d m i ) ( 1 ≤ i ≤ r ) x\equiv a_i(mod\ m_i)(1\le i \le r) x≡ai(mod mi)(1≤i≤r) 有模 M = m 1 × m 2 × . . . × m r M=m_1 \times m_2 \times ... \times m_r M=m1×m2×...×mr的唯一解，此解由下式给出:
x = ∑ i = 1 r a i M i y i m o d M x = \sum_{i=1}^{r}{a_iM_iy_i}\ mod\ M x=i=1∑raiMiyi mod M
其中, M i = M / m i M_i = M\ /\ m_i Mi=M / mi，且 y i = M i − 1 m o d m i , 1 ≤ i ≤ r y_i=M_i^{-1}\ mod\ m_i, 1 \le i \le r yi=Mi−1 mod mi,1≤i≤r
从定理出发，明确了定义之后，就容易计算了。
这里以《孙子算经》中的原文为例:
今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何?
1. 问题
这个问题翻译过来就是:
已知 3 个同余方程组:
- 2 ≡ x m o d 3 , 3 ≡ x m o d 5 , 2 ≡ x m o d 7 2\equiv x\ mod\ 3,\quad 3\equiv x\ mod\ 5,\quad 2\equiv x\ mod\ 7 2≡x mod 3,3≡x mod 5,2≡x mod 7,
求 x x x。
从条件得知:
- ( m 1 , m 2 , m 3 ) ⇒ ( 3 , 5 , 7 ) (m_1, m_2, m_3)\Rightarrow(3, 5, 7) (m1,m2,m3)⇒(3,5,7)，即 m 1 = 3 , m 2 = 5 , m 3 = 7 m_1=3,\ m_2=5,\ m_3=7 m1=3, m2=5, m3=7
- ( a 1 , a 2 , a 3 ) ⇒ ( 2 , 3 , 2 ) (a_1, a_2, a_3)\Rightarrow(2, 3, 2) (a1,a2,a3)⇒(2,3,2)，即 a 1 = 2 , a 2 = 3 , a 3 = 2 a_1=2,\ a_2=3,\ a_3=2 a1=2, a2=3, a3=2
2. 求解
第一步，计算同余方程组的模 M = m 1 × m 2 × . . . × m r M=m1 \times m2 \times ... \times m_r M=m1×m2×...×mr
- M = m 1 × m 2 × m 3 = 3 × 5 × 7 = 105 M=m_1 \times m_2 \times m_3 = 3 \times 5 \times 7 = 105 M=m1×m2×m3=3×5×7=105
第二步，求 M i M_i Mi及其基于 m i m_i mi的逆元 M i − 1 M_i^{-1} Mi−1和 y i y_i yi
这里的逆元 M i − 1 M_i^{-1} Mi−1使用《密码学基础算法(一)基于整数的欧几里得算法和扩展欧几里得算法》一文中求逆的函数int int_inv(int a, int b)来求取。
- M 1 = M / m 1 = 105 / 3 = 35 M_1=M\ /\ m_1 = 105 / 3 = 35 M1=M / m1=105/3=35, M 1 − 1 = i n t _ i n v ( M 1 , m 1 ) = i n t _ i n v ( 35 , 3 ) = 2 M_1^{-1}=int\_inv(M_1,m_1)=int\_inv(35,3)=2 M1−1=int_inv(M1,m1)=int_inv(35,3)=2, y 1 = M 1 − 1 m o d m 1 = 2 m o d 3 = 2 y_1=M_1^{-1}\ mod\ m_1=2\ mod\ 3=2 y1=M1−1 mod m1=2 mod 3=2
- M 2 = M / m 2 = 105 / 5 = 21 M_2=M\ /\ m_2 = 105 / 5 = 21 M2=M / m2=105/5=21, M 2 − 1 = i n t _ i n v ( M 2 , m 2 ) = i n t _ i n v ( 21 , 5 ) = 1 M_2^{-1}=int\_inv(M_2,m_2)=int\_inv(21,5)=1 M2−1=int_inv(M2,m2)=int_inv(21,5)=1, y 2 = M 2 − 1 m o d m 2 = 1 m o d 5 = 1 y_2=M_2^{-1}\ mod\ m_2=1\ mod\ 5=1 y2=M2−1 mod m2=1 mod 5=1
- M 3 = M / m 3 = 105 / 7 = 15 M_3=M\ /\ m_3 = 105 / 7 = 15 M3=M / m3=105/7=15, M 3 − 1 = i n t _ i n v ( M 3 , m 3 ) = i n t _ i n v ( 15 , 7 ) = 1 M_3^{-1}=int\_inv(M_3,m_3)=int\_inv(15,7)=1 M3−1=int_inv(M3,m3)=int_inv(15,7)=1, y 3 = M 3 − 1 m o d m 3 = 1 m o d 7 = 1 y_3=M_3^{-1}\ mod\ m_3=1\ mod\ 7=1 y3=M3−1 mod m3=1 mod 7=1
第三步，根据第二步计算的 M / M i / y i M/M_i/y_i M/Mi/yi，使用中国剩余定理的公式求 x x x
x = ∑ i = 1 r a i M i y i m o d M = ( a 1 M 1 y 1 + a 2 M 2 y 2 + a 3 M 3 y 3 ) m o d 105 = ( 2 × 35 × 2 + 3 × 21 × 1 + 2 × 15 × 1 ) m o d 105 = ( 140 + 63 + 30 ) m o d 105 = 233 m o d 105 = 23 x = \sum_{i=1}^{r}{a_iM_iy_i}\ mod\ M = (a_1M_1y_1 + a_2M_2y_2 + a_3M_3y_3)\ mod\ 105\\= (2 \times 35 \times 2 + 3 \times 21 \times 1 + 2 \times 15 \times 1)\ mod\ 105 \\= (140 + 63 + 30)\ mod\ 105\\=233\ mod\ 105 \\= 23 x=i=1∑raiMiyi mod M=(a1M1y1+a2M2y2+a3M3y3) mod 105=(2×35×2+3×21×1+2×15×1) mod 105=(140+63+30) mod 105=233 mod 105=23
所以最后得到要求的数为 23。
3. 代码
我们可以根据前面的计算过程将其翻译成代码
/**
* @description: 中国剩余定理(CRT: Chinese Reminder Theorem)求同余方程解
* @param {int} 指针 m, 指向整型数组, 包含每一组除数
* @param {int} 指针 r, 指向整型数组, 包含每一组余数
* @param {int} 整数 n, 指定传入指针 m 和 r 指向数组的大小
* @return {*} 中国剩余定理的同余方程解
*/
int crt(int *m, int *r, int n)
{
int i;
int M, Mi, yi;
int sum;
// 计算同于方程组的模 M
M = 1;
for (i=0; i<n; i++)
{
M *= m[i];
}
sum = 0;
for (i=0; i<n; i++)
{
// 计算每一个 Mi
Mi = M / m[i];
// 计算每一个 yi
yi = int_inv(Mi, m[i]) % m[i];
// 累积求和
sum += r[i] * Mi * yi;
}
return sum % M;
}
其中调用的函数int_inv来自《密码学基础算法(一)基于整数的欧几里得算法和扩展欧几里得算法》，专门用于求整数的乘法逆元，如下:
/**
* @description: 基于扩展欧几里得算法计算整数 a 关于 整数 b 的乘法逆元(展开 int_gcd_ex 后的优化版本)
* @param {int} a 整数 a
* @param {int} b 整数 b
* @return {*} 返回整数 a 关于整数 b 的最小正整数乘法逆元, 乘法逆元不存在(gcd(a, b) != 1)则返回 0;
*/
int int_inv(int a, int b)
{
int x, x0, x1;
int q, r, t;
/* 消除警告: "warning: ‘x’ may be used uninitialized in this function" */
x = 0;
/* 初始化最初两项系数 */
x0 = 1;
x1 = 0;
/* 临时保存 b */
t = b;
q = a / b;
r = a % b;
while (r != 0)
{
/* 计算当前项 x */
x = x0 - q * x1;
/* 依次保存前两项到 x0, x1 */
x0 = x1; x1 = x;
a = b;
b = r; /* 前一次的余数 */
q = a / b;
r = a % b;
}
/* gcd(a, b) != 1, 没有乘法逆元 */
if (b != 1)
{
return 0;
}
/* 调整小于 0 的情况 */
if (x < 0)
{
x += t;
}
return x;
}
4. 测试代码和示例
- 测试代码
int main(int argc, char *argv[])
{
int m1[3] = { 3, 5, 7}, r1[3] = { 2, 3, 2}; // 示例1: 孙子算经
int m2[3] = { 7, 11, 13}, r2[3] = { 5, 3, 10}; // 示例2: 《密码学原理与实践》第三版, p133, 例 5.3
int m3[3] = {25, 26, 27}, r3[3] = {12, 9, 23}; // 示例3: 《密码学原理与实践》第三版, p178, 题 5.6
int m4[2] = {37, 49}, r4[2] = {11, 42}; // 示例4: 《密码编码学与网络安全》第七版, p37, 示例
int res;
res = crt(m1, r1, 3);
printf("同余方程组: 除数{ 7, 11, 13}, 余数{ 5, 3, 10}的解为 %d\n", res);
res = crt(m2, r2, 3);
printf("同余方程组: 除数{ 3, 5, 7}, 余数{ 2, 3, 2}的解为 %d\n", res);
res = crt(m3, r3, 3);
printf("同余方程组: 除数{25, 26, 27}, 余数{12, 9, 23}的解为 %d\n", res);
res = crt(m4, r4, 2);
printf("同余方程组: 除数{37, 49}, 余数{11, 42} 的解为 %d\n", res);
return 0;
}
- 编译和运行
$ gcc crt.c -o crt
$ ./crt
同余方程组: 除数{ 7, 11, 13}, 余数{ 5, 3, 10}的解为 23
同余方程组: 除数{ 3, 5, 7}, 余数{ 2, 3, 2}的解为 894
同余方程组: 除数{25, 26, 27}, 余数{12, 9, 23}的解为 14387
同余方程组: 除数{37, 49}, 余数{11, 42} 的解为 973
5. 中国剩余定理的应用
根据《密码编码学与网络安全》中的说明，运用中国剩余定理，使得模 M 的大数运算可以转化为相对较小的数的运算。当 M 为 150 位或 150 位以上时，这种方法特别有效。
例如:
973 对 37 和 49 取模分别为: 973 m o d 37 = 11 , 973 m o d 49 = 42 973\ mod\ 37\ =\ 11,\ 973\ mod\ 49\ =\ 42 973 mod 37 = 11, 973 mod 49 = 42，因此把 973 表示为(11, 42)的形式。
假如要计算 678 + 973 = 1651, 用处理 973 的办法同样处理 678: 678 m o d 37 = 12 , 678 m o d 49 = 41 678\ mod\ 37=\ 12,\ 678\ mod\ 49=\ 41 678 mod 37= 12, 678 mod 49= 41，因此把 678 表示为(12, 41)
然后将上面得到的两个二元组的元素相加并化简:
1651 = 973 + 678 = ( ( 11 + 12 ) m o d 37 , ( 42 + 41 ) m o d 49 ) = ( 23 , 34 ) 1651=973+678=((11+12)\ mod\ 37, (42+41)\ mod\ 49)=(23, 34) 1651=973+678=((11+12) mod 37,(42+41) mod 49)=(23,34)
从上面的例子可以看到，大数 1651 (其实很小) 对 37 和 49 取模转换成了小数 973 和 678 对 37 和 49 取模。
虽然看起来计算量差不多，但是对很大的数，前面提到的 150 位或更多这种，转换成两个数乘积的形式，新的数短一半，再进行操作是很有优势的。
6. 完整代码
#include
/**
* @description: 基于扩展欧几里得算法计算整数 a 关于 整数 b 的乘法逆元(展开 int_gcd_ex 后的优化版本)
* @param {int} a 整数 a
* @param {int} b 整数 b
* @return {*} 返回整数 a 关于整数 b 的最小正整数乘法逆元, 乘法逆元不存在(gcd(a, b) != 1)则返回 0;
*/
int int_inv(int a, int b)
{
int x, x0, x1;
int q, r, t;
/* 消除警告: "warning: ‘x’ may be used uninitialized in this function" */
x = 0;
/* 初始化最初两项系数 */
x0 = 1;
x1 = 0;
/* 临时保存 b */
t = b;
q = a / b;
r = a % b;
while (r != 0)
{
/* 计算当前项 x */
x = x0 - q * x1;
/* 依次保存前两项到 x0, x1 */
x0 = x1; x1 = x;
a = b;
b = r; /* 前一次的余数 */
q = a / b;
r = a % b;
}
/* gcd(a, b) != 1, 没有乘法逆元 */
if (b != 1)
{
return 0;
}
/* 调整小于 0 的情况 */
if (x < 0)
{
x += t;
}
return x;
}
/**
* @description: 中国剩余定理(CRT: Chinese Reminder Theorem)求同余方程解
* @param {int} 指针 m, 指向整型数组, 包含每一组除数
* @param {int} 指针 r, 指向整型数组, 包含每一组余数
* @param {int} 整数 n, 指定传入指针 m 和 r 指向数组的大小
* @return {*} 中国剩余定理的同余方程解
*/
int crt(int *m, int *r, int n)
{
int i;
int M, Mi, yi;
int sum;
// 计算同于方程组的模 M
M = 1;
for (i=0; i 7. 其它
洛奇工作中常常会遇到自己不熟悉的问题，这些问题可能并不难，但因为不了解，找不到人帮忙而瞎折腾，往往导致浪费几天甚至更久的时间。
所以我组建了几个微信讨论群(记得微信我说加哪个群，如何加微信见后面)，欢迎一起讨论:
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