统计信号处理基础 习题解答3-14

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题目

解答：

1. 准备知识：估计的准确度及精确度

2. 准备知识：正态分布的高阶矩

3. 当A为一个固定常数时，线性估计量的准确度及精确度随采样点数的关系

4. 当A为一个固定常数时，非线性估计量的准确度及精确度随采样点数的关系

5. 当​A是一个随机变量，估计量的准确度及精确度随采样点数的关系

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题目

对于例3.11的数据模型，考虑估计量 ,其中 是样本均值。假定我们在随机变量的一个现实为 时观测到一个给定的数据集，通过验证

证明当 时， 。因此，对于给定的现实 ，当 时， 。下一步，通过确定 ，求当时 的方差，其中 ​​​​​​​ ；并将它与CRLB进行比较，解释为什么即使 ，也不能无误差的估计 。

解答：

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1. 准备知识：估计的准确度及精确度

估计量的均方误差MSE定义为：

MSE度量了估计量偏离真值的平方偏差的统计平均值。显然MSE可以进一步转换为：

 ​​​​​​​其中：

估计的准确度（Accuracy）可以用式中的 表示，反映了估计量期望输出与真实值之间的差距；

估计的精确度（Precision）可以用式中的 表示，反映了估计量数据之间的离散化程度，存在Error Bound，例如CRLB。

具体可以参考：

误差、不确定度、精密度、准确度、偏差、方差？看完这篇就不凌乱了 - 知乎

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2. 准备知识：正态分布的高阶矩

 已知 ​​​​​​​，那么：

具体可以参考：

一般正态分布的k阶（如三阶和四阶）中心矩和原点矩如何算？ - 知乎 

​​​​​​​另外，方差的计算公式：

​​​​​​​

 

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3. 当A为一个固定常数时，线性估计量的准确度及精确度随采样点数的关系

 由于 是一个固定常数 ​​​​​​​，估计量：

因此：

 此时，对于估计量 存在：

 因此，可以得到：

 根据统计信号处理基础(3.9)，可以得到估计量的CRLB

 ​​​​​​​根据上式，可以确认，当 时， ，​​​​​​​ ​​​​​​​ ​​​​​​​，也就是随着采样点数增加，基于平均的估计量方差趋近于0，此时估计量 。

 因此，此种场景下，采样点数的增加（）都可以有效提高估计量的准确度及精确度。

 

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4. 当A为一个固定常数时，非线性估计量的准确度及精确度随采样点数的关系

 由于 是一个固定常数 ，用来估计信号功率的估计量：

 由于 

 因此，利用前文高阶矩的性质，得到：

 根据统计信号处理基础(3.17)，可以得到 估计量 ​​​​​​​的CRLB满足​​​​​​​： 

 可以得到：当时， ​​​​​​​， ​​​​​​​

  因此，此种场景下，采样点数的增加（）都可以有效提高估计量的准确度及精确度。

 

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5. 当 是一个随机变量，估计量的准确度及精确度随采样点数的关系

 此时，A是个随机变量， 且 ，用来估计此时信号方差的估计量为：

由于

 其中 与 独立，且都属于高斯分布，因此：

 因此，我们得到此时：

 再次利用正态分布高阶矩的公式，得到：

 因此：

 根据统计信号处理基础例3.11的结果，可以得到 ​​​​​​​ 估计量 的CRLB满足​​​​​​​：

  可以得到：当时， ​​​​​​​，但是​​​​​​​ ​​​​​​​ ​​​​​​​

 因此，此种场景下，采样点数的增加（）可以有效提高估计量的准确度，但始终无法提高估计量的精确度。

其本质原因是每次增加估计数据，都会引入随机变量的方差。