机器学习中的数学——距离定义（二十八）：最大均值差异（Maximum Mean Discrepancy, MMD）

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最大均值差异（Maximum Mean Discrepancy，MMD）是迁移学习，尤其是域适应（Domain Adaptation）中使用最广泛的一种损失函数，主要用来度量两个不同但相关的分布的距离。最大均值差异还可以用来测试两个样本，是否来自两个不同分布$p$和$q$，如果均值差异达到最大，就说明采样的样本来自完全不同的分布。

最大均值差异度量了在再生希尔伯特空间中两个分布的距离，是一种核学习方法。通过寻找在样本空间上的连续函数$f:x\to R$随机投影后，分别求这两个分布的样本在$f$上的函数值均值，并对两个均值做差得到这两个分布对应于$f$的均值差（Mean Discrepancy）。最大均值差异的目标是寻找一个$f$使得均值差最大，即得到最大均值差异。
$$\text{MMD}(F,p,q)=\underset{||f|{|}_H\le 1}{\sup }{E}_p[f(x)]-E_q[f(y)]$$