第十章：MATLAB:矩阵分析(特征值与特征向量,矩阵对角化,若尔当标准型,矩阵的反射与旋转变换)

矩阵运算是线性代数重要运算，本章学习求解矩阵的特征值与特征向量，对角化，反射与旋转变换

10.1. 特征值与特征向量

10.1.1. 标准特征值与特征向量问题

实例–矩阵特征值与特征向量

实例：矩阵特征值

10.1.2. 广义特征值与特征向量问题

广义特征值这个概念实际上我们并没有接触过，矩阵论中的概念

实例：广义特征值与广义特征向量

10.1.3. 部分特征值问题

在一些工程及物理问题上，通常我们只需要求出矩阵A的按模最大的特征值，也就是A的主特征值和相应的特征向量，这种求部分特征值可以使用eigs命令来实现

实例–按模最大与最小特征值

实例–最大与最小的两个广义特征值

10.2. 矩阵对角化

矩阵对角化是matlab中的较为重要的内容，在实际应用中可以大大简化矩阵的各种运算

10.2.1. 预备知识

根据我们上面所言，在矩阵对角化之前，我们要判断一个矩阵是否可以对角化，下面我们编写一个函数来判断矩阵是否可以对角化

实例–矩阵对角化

10.2.2. 具体操作

上一小节我们主要讲了对角化理论中的一些基本知识，并给出了如何判断一个矩阵是否可以对角化，本节主要讲对角化的具体操作

10.3. 若尔当(Jordan)标准形

若尔当标准形在工程计算尤其是控制理论有着重要的作用

10.3.1. 若尔当标准形介绍

10.3.2. jordan命令

实例–若尔当标准形及变换矩阵

实例–若尔当标准形

10.4. 矩阵的反射与旋转变换

无论是在矩阵分析，还是在各种工程实际中，矩阵变换都是重要的工具

10.4.1. 两种变换介绍

10.4.2. 豪斯霍尔德(Householder)变换

10.4.3. 吉文斯(Givens)旋转变换

givens变换作用巨大，在工程运算中，我们要有选择的消去矩阵或者向量中的一些元素，这个变换就是解决这个问题

利用这个变量可以很轻松的将一个向量的某个指定分量化为0

实例–吉文斯变换

实例–下海森伯格矩阵下三角矩阵变换

10.5. 综合实例–帕斯卡矩阵