机械臂控制——雅可比矩阵

前面提到过，雅可比矩阵表示的关节速度和末端笛卡尔速度微分运动的关系，运动包括旋转和平移，微分运动的话就是对应线速度和角速度。
更进一步理解就是基坐标系的微分运动和末端坐标系的微分运动。
内容接着上一篇文章。
我们已经清楚地求出了基坐标系和末端坐标系的微分关系，是一个6x6的矩阵(与6-DOF无关，是因为有六个矢量。
前面的等式中，对于 n o a p 的值我们是可以当作已知量。暂时未知的就是关节的平移微量和旋转微量，若我们事先知道了。
一旦我们知道这些数据，我们就能求出这两个坐标系之间的关系。利用这样的关系去实现机械臂的控制，速度或者角度。，实现的方法就是如下：
这种变换关系的组成复杂度是由关节的个数决定的，比如说有六个关节，由前面提到的式子得到的是六种微分转化得到的总的结果。
而雅可比矩阵(方法)，就是需要将这个由于末端执行器和基坐标执行器的微分运动导致的变换。细归到每个关节的微分运动上，如有一个六自由度的机器人，关节六由于微分变换会动，关节五也会。通过计算得到的结果去控制机械臂运动。
微分变换的结果——>雅可比矩阵——>机械臂运动

一种是微分变换法求雅可比矩阵
一种是矢量积法求雅可比矩阵
一种是螺旋运动法求雅可比矩阵 （先不学）
前两种在机器人基础学出现过(蔡自兴);
后面在另外一种见过。接下来的目标就是将他们一一列举。
手写算了。

微分变换法
第一步 前面提到的矩阵等式拆开后是这样的（参考一下）

第二步
对于一个六自由度的串联机械臂，全部都是旋转关节，这时候的平移微量是di=[0 0 0]，旋转微量 δi=[0 0 1]dθi ;
将这些数据代入上面的式子中可以得到：

然后我们再将其转化为另外的一种矩阵等式,其中存在一个关系（即微分法求雅可比矩阵）

J(θ)=[(pxn)z (pxo)z (pxa)z nz oz az]
这里的意思就是：
其实这里就是计算方法。
总的步骤大致分为四步：

矢量积法
我们首先来看看矢量积的组成

图中有 zi pn Ri 三种不同的矩阵式子：
我们可以通过以下的方法去求取。

总的来说 雅各比矩阵的作用有两个：
①：求出各关节速度和末端速度之间的关系(微分）；v
②：求出各关节力矩和机器人末端所受到的力之间的关系。（力控）

v表示的末端执行器的广义速度
θ的一次幂表示的关节广义速度
前三行体现的是线速度的情况，后三行体现的是角速度的情况。
而且雅可比矩阵与串联机器人的奇异位分析有着密切的联系，我们下回讨论。