离散数学期末复习—学习笔记

主要是看ppt和做课后练习

1.命题逻辑的基本概念

1.1 命题与连接词

1. ~考察命题的概念 。判断是不是命题

命题：：命题是陈述句，有唯一的解（就是有解并且唯一）

我正在说假话
这个很有意思，如果为真，则“我正在说假话"为真，即我正在说真话，那这就与“我正在说假话"矛盾，因而这个的由真能推出假，由假能推出真。故矛盾，不能判断真值唯一，把这类命题称为悖论，不属于命题

2.~考察命题的联结词（命题的符号化）

∧可以表示自然语言中的 ”即…又…" “不但…而且” “虽然…但是…” “一面…一面…”
可以用∧

∨主要是或的意思，注意下面的相容或和排斥或的不同之处
相容或：p∨q
排斥或：(p∧┐q)∨(┐p∧q)

→： 例如p→q，p是前件，q称为后件。→称为蕴涵联结词。
只有前件为1，后件为0的情况下整个式子为假
p→q表示为 p是q的充分条件，q是p的必要条件
==在自然语言中，"只要p ，就q " " 因为 p ,所以 q " " p仅当q " "只有q才p ” “ 除非 q，否则 非p “这些可以用→ ==

记住这几个语句是代表p→q,
例如上面题的第四个为 只有天冷，小王才穿羽绒服. 只有 q ,才p为 p→q
但是这个是 只有p，才q ,相反，所以化为 q→p;
6是对着的
没办法 我比较笨，只能记住了

↔等价蕴涵式:当且仅当

联结词的优先级顺序
┐ ∧ ∨ → ↔

1.2 命题公式及其赋值

主要考察公式的真值表以及值和公式的类型(重言式，矛盾式，可满足式）

1.3 习题

2.命题逻辑等值演算

2.1等值式（基本等值式（16组，24个公式））

主要是公式
这里是16组公式、


这里我选几个我记不太住比较重要的
分配律：A∨(B∧C)=(A∨B)∧(A∨C)
====== A∧(B∨C)=(A∧B)∨(A∧C)
====== (p∧q)∨(p∧┐q)=p
====== (p∨q)∧(p∨┐q)=p
====== (A∧B)∨(C∧D)=(A∨C)∧(A∨D)∧(B∨C)∨(B∨D)

`

2.2 析取范式和合取范式(主要是主析取范式和主合取范式）

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主析取范式 是 m 是公式的成真赋值
主合取范式是 M 是求公式的成假赋值

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主范式的应用
1·求公式的成真成假賦值
2·判断公式的类型( 重言式 ，可满足式 ，矛盾式 )
3·判断两个公式是否等值
4·解实际问题

这个比较重要可能会出题

2.3 联结词的完备集

这个没啥，就记住下图就行

设s是一个联结词集合，如果一个命题公式都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示，则称S是一个联结词完备集.

记忆：好记，这里 ┐，↔不是联结词完备集的 ，最小的是与非和或非
就记住有（┐，）基本可以

2.4 练习

3.命题逻辑的推理

3.1推理的相关公式（9条推理公式）

下面重要的公式给我记住

3.2 自然推理系统

接下来介绍命题推理的各种方法：

第一种：直接证明

第二种，附加前提引入 ，将结论的前提引入做条件，只用证明结论的后件

最后一种方法是 归谬法(反证法）把结论的非 加入前提条件，推出矛盾即最后为0

3.3 练习

这一题中要牢记在自然推理系统中可以用的规则
就是这个 A可以变成 A∨B
添加一个不存在的数值满足结论
这个是公式附加律也是附加前提
如这题最后求出r，但前提里没有s，只能添加一个s

4.一阶逻辑基本概念

4.1 一阶逻辑命题符号化

一阶逻辑命题的结构：
个体词 、谓词、 量词
个体词、谓词和量词是谓词逻辑命题符号化的3个基本要素.

4.2 一阶逻辑公式及其解释

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这章差不多最难的就是命题符号化和判断类型

4.3 练习

1中y自由，所以为-1，谁不自由不能写成数字，不一定对是我的想法
所以第二个中第一个的x自由x为1
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5.一阶逻辑等值演算与推理

5.1 一阶逻辑等值式（还是公式要记牢）

换名规则换掉的是既约束出现、又有自由出现的个体变项

5.2 一阶逻辑前束范式

（前束范式存在定理）一阶逻辑中的任何公式都存在等值的前束范式.

5.3 一阶逻辑的推理(比较重要）

这个特别注意

在自然推理系统中

5.4 练习

6 集合代数

6.1 集合的基本概念

这个幂集要记牢，有可能会出

6.2 集合的运算

运算的优先级

6.3 文氏图及有穷集合的计数

6.4 集合恒等式(命题证明)

德摩根律和吸收律需要记忆下，其他的好记

证明命题

我比较喜欢直接第二种用公式推

6.5 练习

用A表示阅读《每月新闻杂志》的人
用B表示i阅读《时代》的人
用C表示阅读《财富》的人
（1）ABC = （A∪B∪C） - (A + B + C - AB - BC - CA)
= (60 - 8) - (25 + 26 + 26 - 9 - 11 - 8)
= 3
（2）
A -B -C = A - AB - AC + ABC
= 25 - 9 - 11 + 3
= 8
B -C-A = B - BC - BA + ABC
= 26 - 8 -11 + 3
= 10
C -A-B = C - CA - CB + ABC
= 26 -8 - 9 + 3
= 12

7 二元关系

7.1 有序对与笛卡尔积

7.2 二元关系

给出一个关系的方法有3种：集合表达式、关系矩阵和关系图.

关系矩阵和关系图.都是按照R里的顺序画的

7.3 关系的运算

练习

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7.4 关系运算的性质（看看就行，不一定出知识点）

7.5 关系的幂运算

下面这个比较重要，可能会用到

7.6 关系的性质（重要的，要记牢）

看A中的恒等是不是全有——自反
如果没一个AA——反自反

看R中的数组的逆，是不是存在，必须全部都是这样的，
R中全部没有对称的如R3这样才是只有反对称

7.7 关系的闭包

7.8 等价关系及划分

7.9 偏序关系与偏序集

注意是反对称的

哈斯图

注意最后别忘记并一个IA (恒等式）

注意最后别忘记并一个IA (恒等式）

注意最后别忘记并一个IA (恒等式）



最小元和最大元要跟所有数相连

上界的最小元就叫最小上界；
下界的最大元叫最大下界；
就像在这个图中，如果找b,d的最小上界，就要先找到b,d的上界,b,d上界的点只有f。上界中的最小元只能是f；
如果找d,e的最大下界，d,e的下界有a,b,c。然后找a,b,c,中的最大元，由于a,b,c,没有最大元，所以不存在最大下界。

7.10 练习

9 代数系统

9.1 二元运算及其性质

单位元也叫幺元

c为这个集合的单位元e

9.2 代数系统

9.3 代数系统的同态和同构

10 群与环

10.1 群的定义和性质

模n加法与模n减法

模为几代表是几进制.
比如说模3加法：210+101=1011（逢3进1）
222+111=1110.
你就把两个数竖式相加,逢三进一就行.
模2乘法：
1 *0=0, 0 *0=0, 1 *1=1
然后相加时逢二进一.
一般来说,竖式做乘法会比较清晰,个位数相乘符合上述规律,错位相加时逢二进一.
比如11 *11=1001.
link

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10.2 子群和群的陪集分解(主要是子群)

子群的判定定理：

重点来了

10.3 循环群与置换群

10.4 环与域（会判断他俩）

域：

10.4 练习

11 格与布尔代数

11.1 判断格

11.2 分配格与有补格（能够判别给定的格是否为分配格、有补格）

11.3 练习

13.递推方程与生成函数

习题

14.图的基本概念

14.1 图

下面这个比较重要

握手定理

14.2 通道与回路

14.3 图的连通性

14.4 图的矩形表示

可达矩阵

14.5 练习

15 欧拉图与哈密顿图

15.1 欧拉图

15.2 哈密顿图

15.3 最短路问题

15.4 练习

16 树

16.1 无向树及其性质

16.2 生成数

16.3 练习

18 支配集、覆盖集、独立集、匹配与着色

18.1 支配集与支配数

18.2 着色

18.3 练习

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17 平面图

17.1 平面图的基本概念

17.2 欧拉公式