《统计学习方法》第一章: 统计学习方法概论 读书笔记

一切为了数据挖掘的准备

1.统计学习方法概论

1.1概念

• 机器学习的分类
  • 监督学习：从给定的训练数据集中学习出一个函数。训练集要求包括输入和输出，特征和目标。常见的监督学习有回归分析和统计分类（连续/离散）
  • 无监督学习：训练集没有人为标注的结果。常见的有聚类。
  • 半监督学习：介于监督学习和无监督学习之间
  • 增强学习：通过观察学习做成动作。每个动作都会对环境有所影响。学习对象根据观察到的周围环境的反馈来做出判断。
• 假设空间：假设要学的模型属于某个函数的集合，模型可以将输入空间映射到输出空间，这个集合称为假设空间。需要从假设空间选取一个最优的模型，使其在给定的评价准则下对已知数据有最优的预测。
• 统计学习三要素：模型（模型的假设空间）、策略（评价模型）、算法（模型的学习算法）
• 输入/输出空间：在监督学习中，将输入与输出所有可能取值的集合分别称为输入空间、输出空间。
• 特征空间：每个具体的输入是一个实例，通常由特征向量表示。所有特征向量存在的空间为特征空间。
• 数学表达：
  • 输入变量X,输出变量Y。
  • 输入变量X所取的值x,输出变量的取值y。$x=(x^{(1)},x^{(2)},\cdots ,x^{(i)},\cdots ,x^{(n)}{)}^T$,$x^{(i)}$为第i个特征。
  • $x_i$是第i个输入。
  • 训练集表示为：$T=(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots ,(x_N,y_N)$
• 预测问题：
  • 回归问题：输入输出都连续
  • 分类问题：输出有限离散变量
  • 标注问题：输入输出都是变量序列，
• 监督学习的模型可以是概率模型或非概率模型，由条件概率分布$P(Y|X)$或决策函数$Y=f(X)$表示
• 泛化能力：学习方法对未知数据的预测能力称为泛化能力
• 过拟合：学习时的模型包含参数过多，对已知数据预测的很好，对未知数据预测差

1.2.统计学习三要素

模型

监督学习中，模型就是要学习的条件概率分布或决策函数。模型的假设空间包含所有可能的条件概率分布或决策函数。

• 决策函数的集合：$F=\{f|Y=f(X)\}$,此时F通常是一个参数向量决定的函数族$F=\{f|Y=f_{\theta }(X)\}$
• 条件概率的集合：$F=\{P|P_{\theta }(Y|X)\}$，此时F通常是一个参数向量决定的概率分布族

策略

策略是指按照什么样的准则学习或选择最优的模型。

• 损失函数：度量预测错误的程度，是f(X)（预测值） 和 Y（实际值）的非负实值函数，L( Y , f(X))。损失函数越小，模型越好。
  • 0-1损失函数
    $L(Y,f(X))=\{\begin{array}{ll}1,& Y̸=f(X)\\ 0,& Y=f(X)\end{array}$
  • 平方损失函数
    $L(Y,f(X))=(Y-f(X){)}^2$
  • 绝对损失函数
    $L(Y,f(X))=|Y-f(X)|$
  • 对数损失函数
    $L(Y,P(Y|X))=-logP(Y|X)$
• 风险函数/期望损失：损失函数的期望$R_{exp}(f)=E[L(Y,f(X))]=\int L(Y,f(X))P(Y|X)dxdy$，是模型关于联合分布的平均损失
• 经验风险/经验损失: $R_{emp}=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^{N}L(y_i,f(x_i))$,是训练数据集的平均损失，当N趋于无穷时，经验风险趋于期望风险.
  当模型是条件概率分布，损失函数是对数损失函数时，经验风险最小化等价于极大似然估计
• 结构风险：为了防止过拟合，在经验风险上加上表示模型复杂度的正则化项或惩罚项。$R=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^{N}L(y_i,f(x_i))+\lambda J(f)$。
  • $J(f)$:表示模型复杂度的正则化项或惩罚项
  • $\lambda$：权衡经验风险和复杂度
• 经验风险最小化：$min\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^{N}L(y_i,f(x_i))$
• 结构风险最小化：$min\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^{N}L(y_i,f(x_i))+\lambda J(f)$

算法

指学习模型的具体计算方法。当根据学习策略，选择最有模型后，要考虑如何求解最优化问题。

1.3.正则化与交叉验证

• 正则化：在经验风险上加上一个正则化项或惩罚项。正则化项一般是模型复杂度的单调递增函数，模型越复杂，正则化值越大。目的是选择经验风险（损失函数）和模型复杂度同时较小的模型。

  • 正则化项是参数向量的$L_2$范数：$L(w)=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N(f(x_i;w)-y_i{)}^2+\frac{\lambda }{2}||w|{|}^2$
  • 正则化项是参数向量的$L_1$范数:$L(w)=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N(f(x_i;w)-y_i{)}^2+\lambda ||w||$

• 交叉验证：把原始数据切分为train data和test data.训练数据再切分几组，其中一份为验证集，其他几份做训练数据；再抽取另一份做验证集，剩下的做训练数据；在训练集上训练不同的模型，在抽取的验证集上验证模型，比较这些验证结果，选取效果好模型。

1.4.泛化误差上界

• 泛化误差：如果学到的模型是$\hat{f}$，那么用这个模型对未知数预测的误差为泛化误差。$R_{exp}(\hat{y})=E_p[L(Y,\hat{f}(X))]=\int L(Y,\hat{f}(X))P(x,y)dxdy$.泛化误差反映了泛化能力，也是学习到模型的期望风险。
• 泛化误差上界：泛化误差概率的上界。
  $T=(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots ,(x_N,y_N)$，假设空间是函数的有限集合$F=\{f_1,f_2,\cdots ,f_d,\}$d是函数的个数，假设f是从F中选取的函数，损失函数是0-1损失，有关f的期望风险和经验风险是：
  $$R(f)=E[L(Y,f(X))]$$

$$\hat{R}(f)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}L(y_i,f(x_i))$$
对于函数f，至少以概率$1-\delta$,以下不等式成立
$$R(f)⩽\hat{R}(f)+ϵ(d,N,\delta )$$

$$ϵ(d,N,\delta )=\sqrt{\frac{1}{2N}(logd+log\frac{1}{\delta })}$$

第一项是训练误差，训练误差越小，泛化误差越小；训练集N越大，泛化误差越小；假设空间包含的函数越多，d越大，值越大。

• 证明：
  设有随机变量$X_1,X_2,\cdots ,X_n$,$S_n=\sum X_i$,$X_i\in [a_i,b_i]$，对任意t>0，一下不等式成立
  $$P(S_n-E{S}_n⩾t)⩽exp(\frac{-2t^2}{\sum (b_i-a_i{)}^2})$$
  对于任意函数$f\in F$,如果损失函数，取值范围[0,1]，由于$\hat{R}(f)=\frac{1}{N}\sum L_i$,以下不等式成立
  $$P(R(f)-\hat{R}(f)⩾ϵ)⩽exp(\frac{-2(Nϵ{)}^2}{\sum (1-0{)}^2})=exp(-2N{ϵ}^2)$$
  对于有限集合$F=\{f_1,f_2,\cdots ,f_d,\}$，想要计算所有函数$R(f)-\hat{R}(f)⩽ϵ$的概率，可以计算对立事件：存在某个函数f满足$R(f)-\hat{R}(f)⩾ϵ$条件的概率(即函数f1满足该条件或函数f2满足该条件… ,当事件AB独立时$P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)$)：
  $$P(\exists f\in F:P(R(f)-\hat{R}(f)⩾ϵ)$$
  $$=P((R(f_1)-\hat{R}(f_1)⩾ϵ)\bigcup (R(f_2)-\hat{R}(f_2)⩾ϵ)\bigcup \cdots \bigcup (R(f_N)-\hat{R}(f_N)⩾ϵ))$$
  $$=P(R(f_1)-\hat{R}(f_1)⩾ϵ)+P(R(f_2)-\hat{R}(f_2)⩾ϵ)+\cdots +P(R(f_N)-\hat{R}(f_N)⩾ϵ)$$
  $$=dP(R(f_i)-\hat{R}(f_i)⩾ϵ)⩽dexp(-2N{ϵ}^2)$$
  $$P(\forall f\in F:P(R(f)-\hat{R}(f)⩽ϵ)⩾dexp(-2N{ϵ}^2)$$
  令$\delta =dexp(-2N{ϵ}^2)$,则$ϵ=\sqrt{\frac{1}{2N}(logd+log\frac{1}{\delta })},R(f)⩽\hat{R}(f)+ϵ$

1.5.生成模型/判别模型

• 监督学习的方法：生成方法，判别方法
• 生成方法：由数据学习联合概率分布，求出条件概率分布作为预测模型：$P(Y|X)=\frac{P(Y,X)}{P(X)}$.
  • 模型表示了给定输入X产生输出Y的生成关系
  • 收敛速度快，存在隐变量
  • 典型的生成模型：朴素贝叶斯、隐马尔科夫模型
• 判别方法：由数据直接学习决策函数f(X)或条件概率分布P(Y|X)做预测的模型。
  • 典型的判别模型：k临近法，感知机、决策树、逻辑斯谛回归模型、最大熵模型、支持向量机、提升方法和条件随机场)

1.6.分类问题

• 正类：关注的类； 负类：其他类
• tp：正类预测为正类
• fn：正类预测为负类
• fp：负类预测为正类
• tn：负类预测为负类
• 精确率：$P=\frac{tp}{tp+fp}$，预测结果为正类的准确率
• 召回率：$R=\frac{tp}{tp+fn}$，实际为正类的实例中预测的准确率

1.7.一个极大似然估计和贝叶斯估计的实例

假设数据$x_1,x_2,\cdots ,x_n$来自正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$，$\sigma$已知

• 根据样本计算$\mu$的极大似然估计。
  $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$
  $$L=\prod _{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x_i-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}=(2\pi {\sigma }^2{)}^{-\frac{n}{2}}{e}^{-\frac{1}{2{\sigma }^2}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2}$$
  $$\frac{\partial L}{\partial \mu }=(2\pi {\sigma }^2{)}^{-\frac{n}{2}}{e}^{-\frac{1}{2{\sigma }^2}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2}\frac{1}{{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu )=0$$
  $$\hat{\mu }=\frac{1}{n}\sum x_i$$

• 假设$\mu$的先验分布是正态分布$N(\mu ,t^2)$,根据样本计算$\mu$的贝叶斯估计
  $$\pi (\mu )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }t}{e}^{-\frac{{\mu }^2}{2t^2}}$$
  $$P(\mu |x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\frac{P(\mu ,x_1,x_2,\cdots ,x_n)}{P(x_1,x_2,\cdots ,x_n)}=\frac{P(\mu )P(x_1|\mu )P(x_2|\mu )\cdots P(x_n|\mu )}{\int P(\mu ,x_1,x_2,\cdots ,x_n)d\mu }$$
  $$\propto e^{-\frac{{\mu }^2}{2t^2}}\prod _{i=1}^n{e}^{-\frac{(x_i-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}=e^{-\frac{1}{2{\sigma }^2}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2-\frac{{\mu }^2}{2t^2}}$$
  $$L=e^{-\frac{1}{2{\sigma }^2}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2-\frac{{\mu }^2}{2t^2}}$$
  $$\frac{\partial L}{\partial \mu }=L(\frac{1}{{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu )-\frac{\mu }{t^2})=0$$
  $$\hat{\mu }=\frac{t^2}{n{t}^2+{\sigma }^2}\sum x_i$$