自适应回声抵消

一、原理

1、概述

在密闭空间里与外界通信时，来自于对方的信号称之为远端信号，自己向对方表达的信号称之为近端信号。远端信号通过喇叭转变成声音信号，在密闭空间里多次反射后，会被麦克接收，与近端信号叠加在一起，传向对方。对方在听到近端信号的语音之外，也能听到自己的声音，即回声。
声学回声是指扬声器播出的声音在接受者听到的同时，也通过多种路径被麦克风拾取到。多路径反射的结果产生了不同延时的回声，包括直接回声和间接回声：
（1）直接回声：是指由扬声器播出的声音未经任何反射直接进入麦克风。这种回声的延时最短，它同远端说话者的语音能量，扬声器与麦克风之间的距离、角度 ,扬声器的播放音量，麦克风的拾取灵敏度等因素直接相关；
（2）间接回声：是指由扬声器播出的声音经过不同的路径（如房屋或房屋内的任何物体）的一次或多次反射后进入麦克风所产生的回声的集合。房屋内的任何物体的任何变动都会改变回声的通道。因此，这种回声的特点是多路径的、时变的。

自适应回声抵消（AEC，Adaptive Echo Cancellation） 的基本思想是估计回声路径的特征参数，产生一个模拟的回声路径，得出模拟回声信号，从接收信号中减去该信号，实现回声抵消。其关键就是得到回声路径的冲击响应h(n)，由于回声路径通常是未知的和时变的，所以一般采用自适应滤波器来模拟回声路径。自适应回声抵消的显著特点是实时跟踪，实时性强。

2、结构框图

变量	计算	定义
$x(n)$		远端信号
$s(n)$		近端信号
$y(n)$	$y(n)=x(n)\ast h(n)$	回声信号
$\hat{y}(n)$	$\hat{y}(n)=x(n)\ast \hat{h}(n)$	模拟回声信号
$d(n)$	$d(n)=s(n)+y(n)$	参考信号
$e(n)$	$e(n)=d(n)-\hat{y}(n)$	误差信号
$\mathbf{H}(z)$		回声路径
$\hat{\mathbf{H}}(z)$		模拟回声路径

自适应回声抵消就是通过自适应算法估计回声路径$\mathbf{H}(z)$的特征参数，产生一个模拟的回声路径$\hat{\mathbf{H}}(z)$，得出模拟回声信号$\hat{y}(n)$，从参考信号$d(n)$中减去该信号，实现回声抵消。

3、自适应算法

在自适应过程中，自适应算法根据误差信号$e(n)$，利用某种最优准则不断地调整滤波器抽头系数$\hat{\mathbf{h}}$，最终使得滤波器的输出信号$\hat{y}(n)$无限接近$y(n)$，抽头系数$\hat{\mathbf{h}}$收敛于$\mathbf{h}$。

最有代表性的自适应算法有最小均方（LMS，Least Mean Square）算法、递归最小二乘（Recursive Least Square）算法。LMS算法因其结构简单、计算复杂度低和在平稳信号中具有良好的收敛性，成为应用最广泛的自适应算法。

3.1 LMS算法

3.1.1 维纳滤波算法

根据最小均方误差准则，该准则要求滤波器输出与期望信号之差的均方值最小，将目标函数（性能函数）定义为：
$$\begin{array}{rl}\epsilon (n)& =E[|e(n){|}^2]\\ & =E[|d(n)-{\hat{h}}^T(n)x(n){|}^2]\\ & =E[d^2(n)]-2R_{dx}^T\hat{h}(n)+{\hat{h}}^T(n)R_x\hat{h}(n)\end{array}$$其中，$R_x=E[x(n)x^T(n)]$为输入信号的自相关函数，$R_{dx}=E[d(n)x^T(n)]$为输入信号和参考信号的互相关函数。

为了选择最优权系数$\hat{h}$，使性能函数$\epsilon (n)$最小，一些常用的自适应算法都是基于梯度法的，用$\nabla$表示性能函数的梯度向量，式$(3)$对$\hat{h}$求导得：
$$\nabla =\frac{\partial \epsilon (n)}{\partial \hat{h}}=2R_x\hat{h}-2R_{dx}\text{\hspace{1em}(4)}$$令上式等于0，得到最优权矢量：
$${\hat{h}}^0=R_x^{-1}{R}_{dx}\text{\hspace{1em}(5)}$$所得到的滤波器最优权矢量也即为维纳最优解，当自适应滤波器的权系数满足上式时，均方误差达到最小值。

3.1.2 最陡梯度下降法

要求得维纳最优解，需要求相关矩阵并计算相关矩阵的逆，这在实际应用中限制较多。最陡梯度下降法由于不需要对相关矩阵求逆，收敛速度较快，被广泛应用到实际工程当中。其算法可以表示为：
$$\hat{h}(n+1)=\hat{h}(n)+\frac{1}{2}\mu (-\nabla )\text{\hspace{1em}(6)}$$其中$\mu$是调整步长的参数，它控制着系统的稳定性和算法的收敛速度，把式$(4)$代入$(6)$式，得到最陡梯度下降法的递推公式：
$$\hat{h}(n+1)=\hat{h}(n)+\mu (R_{dx}-R_x\hat{h})\text{\hspace{1em}(7)}$$用上面的递推公式能够让滤波器的权系数收敛到它的最佳状态，即维纳最优解。但是，每次迭代都需要求出其梯度矢量的准确值，要求输入信号和期望信号是随机平稳过程，这给具体实现带来了很大的困难。

3.1.3 LMS算法

LMS算法采用一种用梯度的估计值代替梯度的精确值的方法，具体实现是采用瞬时误差的平方来代替均方误差，则式$(4)$的梯度估计值表达式为：
$$\hat{\nabla }=\frac{\partial [e^2(n)]}{\partial \hat{h}}=-2e(n)x(n)\text{\hspace{1em}(8)}$$由式$(6)$和式$(8)$可以得到LMS算法的递推公式：
$$\hat{h}(n+1)=\hat{h}(n)+\mu e(n)x(n)\text{\hspace{1em}(9)}$$式中，$\mu$为固定步长因子，$\mu$的大小很大程度上决定了算法的收敛与稳态性能。$\mu$越大，算法收敛越快，但稳态误差也越大；$\mu$越小，算法收敛越慢，但稳态误差也越小。为保证算法稳态收敛，应使$\mu$在以下范围取值：
$$0<\mu <\frac{2}{x^T(n)x(n)}\text{\hspace{1em}(10)}$$LMS算法的具体实现步骤如下：
$1)$ 假设起始时刻$n=0$，自适应滤波器权矢量的初始值$\hat{h}(0)$为任意值（一般设置为$0$）；
$2)$ 计算误差信号$e(n)$；
$3)$ 利用权矢量递推公式$\hat{h}(n+1)=\hat{h}(n)+\mu e(n)x(n)$，更新权矢量；
$4)$ 重复步骤$2)$和$3)$，直至达到平稳状态。

3.2 NLMS算法

LMS算法在自适应滤波中流行的主要原因是其计算简单，比其他常用的自适应算法更易于实现。但是总体而言，LMS算法复杂度低，它的收敛速度还是慢。而且是固定步长，这就需要在开始自适应滤波操作之前了解输入信号的统计信息。实际上，这是很难实现的。即使我们假设自适应回声抵消系统的唯一输入信号是语音，但仍有许多因素如信号输入功率和振幅会影响其性能，为改善LMS这个不足之处，科研人员提出一系列改进算法，NLMS算法就是其中一种。

NLMS算法是LMS算法的一个扩展，利用可变的步长因子代替固定的步长因子，就得到了NLMS算法，它通过计算最大步长值绕过了LMS固定步长的问题。
$$\mu (n)=\frac{\alpha }{x^T(n)x(n)}\text{\hspace{1em}(11)}$$为了使算法收敛$\alpha$应该满足：
$$0<\alpha <2\text{\hspace{1em}(12)}$$实际中，为了避免输入信号$x(n)$的内积过小而使步长过大，进一步修改式$(12)$为：
$$\mu (n)=\frac{\alpha }{c+x^T(n)x(n)}\text{\hspace{1em}(13)}$$其中$c$为一个很小的正常数。

NLMS算法的递推公式为：
$$\hat{h}(n+1)=\hat{h}(n)+\frac{\alpha }{c+x^T(n)x(n)}e(n)x(n)\text{\hspace{1em}(14)}$$

二、仿真

1、仿真流程

2、代码

修改自: https://github.com/kamejosh/Acoustic-Echo-Canceller/blob/master/nlms_finished.m.

clc;
clear all;
close all;
%% 回声路径

% 频率
fs=8000;
M=fs/2 + 1;

% 产生冲激响应
[B,A]=cheby2(4,20,[0.1 0.7]);
impulseResponseGenerator=dsp.IIRFilter('Numerator',[zeros(1,6) B],'Denominator',A);

% 产生房间的冲激响应，即回声路径h(n)
roomImpulseResponse=impulseResponseGenerator((log(0.99*rand(1,M)+0.01).*sign(randn(1,M)).*exp(-0.002*(1:M)))');
roomImpulseResponse=roomImpulseResponse/norm(roomImpulseResponse)*4;
room=dsp.FIRFilter('Numerator',roomImpulseResponse');

%% 近端语音信号

% 读入近端语音信号s(n)
[v,Fs1]=audioread('D:\audio\nearspeech.wav');
near=v';

%% 远端语音信号

% 读入远端语音信号x(n)
[x,Fs2]=audioread('D:\audio\farspeech.wav');
far=x';

%% 回声信号

farEcho=room(far); % 间接回声x(n)*h(n)
farEcho=farEcho*0.2+far; % 回声信号=直接回声+间接回声
                         % y(n)=x(n)+x(n)*h(n)

%% 参考信号

micSignal=farEcho+near; % d(n)=y(n)+s(n)
N=length(micSignal);

%% LMS

% 初始化
ANNCx1=zeros(1,N); % 自适应滤波器的状态
ANNCw1=zeros(1,M); % 自适应滤波器的权系数
e_cont1=zeros(1,N); % 误差信号
mu1=0.05; % 固定步长

% 开始迭代
for epoch=1:N
    ANNCx1=[far(epoch) ANNCx1(1:(M-1))]; % 更新滤波器输入
    ANNCy1=sum(ANNCx1.*ANNCw1); % 滤波器输出
    e_cont1(epoch)=micSignal(epoch)-ANNCy1; % 计算误差信号
    ANNCw1=ANNCw1+mu1*e_cont1(epoch)*ANNCx1; % 权系数递推公式 
end   

%% NLMS

% 初始化
alfa=0.004; % 避免步长过大 
c=0.04; % 避免输入信号内积过小
ANNCx2=zeros(1,N);
ANNCw2=zeros(1,M);
e_cont2=zeros(1,N);

% 开始迭代
for epoch=1:N
    mu2=alfa/(c+(far(epoch)'*far(epoch))); % 变步长
    ANNCx2=[far(epoch) ANNCx2(1:(M-1))];
    ANNCy2=sum(ANNCx2.*ANNCw2);
    e_cont2(epoch)=micSignal(epoch)-ANNCy2;
    ANNCw2=ANNCw2+mu2*e_cont2(epoch)*ANNCx2;
end

%% 画图

figure(1);
subplot(2,1,1);
plot(near);
xlabel('采样点');
ylabel('幅度');
xlim([1 N]);
ylim([-1 1]);
title('近端信号');
subplot(2,1,2);
plot(far);
xlabel('采样点');
ylabel('幅度');
xlim([1 N]);
ylim([-1 1]);
title('远端信号');
figure(2);
subplot(2,1,1);
plot(farEcho);
xlabel('采样点');
ylabel('幅度');
xlim([1 N]);
ylim([-1 1]);
title('回声信号');
subplot(2,1,2);
plot(micSignal);
xlabel('采样点');
ylabel('幅度');
xlim([1 N]);
ylim([-1 1]);
title('参考信号');
figure(3);
subplot(2,1,1);
plot(e_cont1);
xlabel('采样点');
ylabel('幅度');
xlim([1 N]);
ylim([-1 1]);
title('LMS误差信号');
subplot(2,1,2);
plot(e_cont2);
xlabel('采样点');
ylabel('幅度');
xlim([1 N]);
ylim([-1 1]);
title('NLMS误差信号');

3、仿真结果

近端语音信号和远端语音信号时域波形图。
回声信号和参考信号时域波形图。
LMS和NLMS算法输出的误差信号时域波形图。

参考

https://www.cnblogs.com/LXP-Never/p/11703440.html.

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如有问题，恳请指正。