积性函数

原文：http://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/50500009
以下是本人整理~

常用公式：

① ∑d|nφ(n)=n→φ(n)=n−∑d|n,d<nφ(d)
② ∑ni=1[gcd(n,i)=1]∗i=n∗φ(n)+[n=1]2
③ [n=1]=∑d|nμ(d)
④ n=∑d|nφ(d)
⑤
若 S(n)=∑ni=1ϕ(i)
则 S(n)=n∗(n+1)2−∑ni=2S(⌊ni⌋)

⑥
若 S(n)=∑ni=1i∗ϕ(i)
则 S(n)=n∗(n+1)∗(2n+1)6−∑ni=2i∗S(⌊ni⌋)

⑦
若 S(n)=∑ni=1μ(i)
则 S(n)=1−∑ni=2S(⌊ni⌋)

⑧
若 S(n)=∑ni=1i∗μ(i)
则 S(n)=1−∑ni=2S(⌊ni⌋)

一些函数定义：
元函数 e(n)=[n=1] ，狄利克雷卷积的乘法单位元，完全积性。
恒等函数 I(n)=1 ，完全积性。
单位函数 id(n)=n ，完全积性。
幂函数 idk(n)=nk ，完全积性。

积性函数的定义

　　1.若 f(n) 的定义域为正整数域，值域为复数，即 f:Z+→C ，则称 f(n) 为数论函数（ I 为数论函数集合）。
　　2.若f(n)为数论函数，且 f(1)=1 ，对于互质的正整数 p,q 有 f(p⋅q)=f(p)⋅f(q) ，则称其为积性函数。
　　3.若 f(n) 为积性函数，且对于任意正整数 p,q 都有 f(p⋅q)=f(p)⋅f(q) ，则称其为完全积性函数。

积性函数的性质与例子

　　　　 σk(n)=∑d|ndk ，表示n的约数的k次幂和
　　　　　　特殊：约数个数 k=0 ，约数和 k=1
　　
　　　　欧拉函数：
　　　　 φ(n)=∑ni=1[(n,i)=1]=∏ki=1(1−1pi)
　　　　 ∑d|nφ(n)=n→φ(n)=n−∑d|n,d<nφ(d)
　　　　表示不大于n且与n互质的正整数个数(n>2时φ(n)为偶数)
　　　
　　　　 ∑ni=1[gcd(n,i)=1]∗i=n∗φ(n)+[n=1]2
　　　　表示不大于n且与n互质的正整数总和

　　　　莫比乌斯函数：
　　　　 μ(n)={(−1)t　　　n=∏ti=1pi0　　　　　有平方因子

　　　　莫比乌斯经典公式：
　　　　 [n=1]=∑d|nμ(d) 　　排列组合后二项式定理转换即可证明
　　　　 n=∑d|nφ(d) 　　　　将 in(1≤i≤n) 化为最简分数统计个数即可证明

　　　　若 f(n) 为积性函数，对于 n=∏ti=1pkii
　　　　则： f(n)=∏ti=1f(pkii)

　　　　若 f(n) 为完全积性函数，对于 n=∏ti=1pkii
　　　　则： f(n)=∏ti=1f(pi)ki

狄利克雷卷积与莫比乌斯反演

　　　　一、
　　　　数论函数 f 和g狄利克雷卷积定义为 (f∗g)(n)=∑d|nf(d)⋅g(nd) 。
　　　　狄利克雷卷积满足交换律、结合律，对加法满足分配律。
　　　　存在单位元函数 e(n)=[n=1] 使得 f∗e=f=e∗f 。
　　　　若 f 和g为积性函数则 f∗g 也为积性函数。

　　　　二、
　　　　狄利克雷卷积的一个常用技巧是对于积性函数 f 与恒等函数I的卷积的处理。比如：
　　　　已知 n=∏ti=1pkii
　　　　若　 g(n)=∑d|nf(d)
　　　　则　 g(n)=∏ti=1∑kij=0f(pji)

　　　　三、
　　　　莫比乌斯反演也是对于 g(n)=∑d|nf(d) 的讨论。
　　　　☆但是不要求 f 是积性函数☆（适用于已知g(n)求 f(n) 的情况）
　　　　 f(n)=∑d|ng(d)⋅μ(nd)
　　　　证明：
　　　　∵ I∗μ=e
　　　　∴ g∗μ=f∗I∗μ=f∗e=f
　　　　
　　　　欧拉函数和莫比乌斯函数之间的关系
　　　　∵ ∑d|nφ(d)=id(n)
　　　　∴ φ(n)=∑d|nμ(d)nd
　　　　∴ φ(n)n=∑d|nμ(d)d

杜教筛

　　一个简单的例子：
　　　　求前n个正整数的约数之和，即 ∑ni=1σ(i) 其中 n≤1012
　　推导：
　　　　 ∑ni=1σ(i)=∑ni=1∑nj=1[j|i]∗j=∑ni=1i∗∑nj=1[i|j]=∑ni=1i∗⌊ni⌋
　　当 i≤n√ 时 ⌊ni⌋ 只有 n√ 个值
　　当 i≤n√ 时
　　∵ ⌊ni⌋≤n√
　　∴ ⌊ni⌋ 只有 n√ 个值
　　对于固定的 ⌊ni⌋ ， i 的取值是一段连续的区间，是[⌊n⌊ni⌋+1⌋+1,⌊n⌊ni⌋⌋]

　　练习：求前n个正整数的约数个数之和
　　 ∑ni=1i∗⌊ni⌋=∑ni=1⌊ni⌋∗(⌊ni⌋+1)2 (一个常见的表达形式)

　　另一个例子：
　　求前n个正整数的欧拉函数之和，即 ∑ni=1φ(i) ，其中 n≤1011
　　
　　推导：
　　我们利用 ∑d|nφ(n)=n 来化简。
　　它的另一个形式： φ(n)=n−∑d|n,d<nφ(d)
　　记 ϕ(n)=∑ni=1φ(i)
　　那么：
　　

ϕ(n)=∑i=1nφ(i)=∑i=1n[i−∑d|i,d<iφ(d)]=n∗(n+1)2−∑i=2n∑d|i,d<iφ(d)=n∗(n+1)2−∑i=2n∑d[d|i]∗φ(d)=n∗(n+1)2−∑id=2n∑d=1⌊nid⌋φ(d)=n∗(n+1)2−∑i=2n∑d=1⌊ni⌋φ(d)=n∗(n+1)2−∑i=2nϕ(⌊ni⌋)

　　
　　其中

∑i=2n∑d[d|i]∗φ(d)=∑id=2n∑d=1⌊nid⌋φ(d)

　　它的思想所在就是：d的条件是要能整除i，无法方便算出。于是我们便枚举 di 的值，这样这些值就是连续的一坨一坨的了。

　　时间复杂度证明：
　　

　　小总结：
　　如果能通过狄利克雷卷积构造一个更好计算前缀和的函数，且用于卷积的另一个函数也易计算，则可以简化计算过程。例如上题就是利用了φ∗I=id的性质，但一定注意，不是所有的这一类题都只用配个恒等函数I就可以轻松完事的，有时需要更细致的观察。
　　先根据要求的函数的一些其他表达式进行简化，将简化出来的式子或原式整体感知一下（明白它在求什么），尝试从其他方式考虑（目标就是降低复杂度，那么就要观察枚举的那些数那些比较小，那些数比较有特性之类的）

　　杜教筛通式：
　　我们要求的是 S(n)=∑ni−1f(i) ，其中 f∈I
　　假设 g∈I 且 g(1)≠0 那么
　　

∑i=1n(f∗g)(i)=∑i=1n∑d|ig(d)f(id)=∑i=1ng(d)∑1≤i≤n,d|if(id)=∑d=1ng(d)∑i=1⌊nd⌋f(i)=∑d=1ng(d)S(⌊nd⌋)

　　即
　　

∑i=1n(f∗g)(i)=∑d=1ng(d)S(⌊nd⌋)

　　∴

g(1)S(n)=∑i=1n(f∗g)(i)−∑i=2ng(i)S(⌊ni⌋)

　　如果我们能知道 g 和f∗g ，那么我们就能快速知道 S(n) ，问题就能愉快地解决啦~

　　大白话口胡：
　　上面的函数 g 是我们xjb选的一个数论函数。若∑ni=1(f∗g)(i)是一个定值时且g(1)≠0那么:
　　

g(1)S(n)=∑i=1n(f∗g)(i)−∑i=2ng(i)S(⌊ni⌋)

　　假设 g(1)A，∑ni=1(f∗g)(i)=B
　　 AS(n)=B−∑ni=2g(i)S(⌊ni⌋)
　　（能求的前提是g(i)可以快速知道的哦~）

一坨题

　
　　1.求前n个正整数的约数之和。 ∑ni=1σ1(i) √见上
　　
　　2.求前n个正整数的约数个数之和。 ∑ni=1σ0(i) √
　　
　　3.求前n个正整数的欧拉函数之和。 ∑ni=1φ(i) √见上
　　
　　4.求前n个正整数的μ值之和。 ∑ni=1μ(i) √
　　
　　5.令 A(n)=∑ni=1i(n,i),F(n)=∑ni=1A(i) ，求 F(n)
　　
　　6.若 n=∏ti=1pkii 则 rad(n)=∏ti=1pi
　　求 ∑ni=1∑d|nrad(d)∗φ(drad(d))

　　7.求 ∑ni=1∑nj=1lcm(i,j) √

　　8.求 ∑ni=1∑nj=1gcd(i,j) √

　　9.求 S(n)=∑ni=1i∗ϕ(i) √

　　10.求 ∑ni=1∑ij=1lcm(i,j)i √

　　11.求 ∑ni=1∑mj=1lcm(i,j) √

一坨解法

　　2.求前n个正整数的约数个数之和。 ∑ni=1σ0(i)
　　　　

∑i=1nσ0(i)=∑i=1n∑d=1n[d|n]=∑d=1n⌊nd⌋

　　
　　4.求前n个正整数的μ值之和。 S(n)=∑ni=1μ(i)
　　　　

1=∑i=1n[i=1]=∑i=1n∑d|iμ(d)=∑d=1n∑i=1⌊ni⌋μ(i)=∑i=1nS(⌊ni⌋)

　　　　∴ S(n)=1−∑ni=2S(⌊ni⌋)
　　7.求 ∑ni=1∑nj=1lcm(i,j)
　　

∑i=1n∑j=1nlcm(i,j)=∑i=1n∑j=1nijgcd(i,j)=∑d=1nd∑i=1⌊nd⌋i∑j=1⌊nd⌋j∗[gcd(i,j)==1]

　　∵

∑i=1ni[gcd(i,n)==1]=n∗ϕ(n)2

　　∴

原式=∑d=1nd∑i=1⌊nd⌋i2∗ϕ(i)

　　令

S(n)=∑i=1ni2∗ϕ(i)

　　

g(n)=n2∗ϕ(n)

　　∵

n=∑d|nϕ(d)

　　∴

(n∗(n+1)2)2=∑i=1n∑d|iϕ(d)∗i2=∑i=1n∑d|ig(d)∗(id)2=∑i=1n∑d=1⌊ni⌋g(d)∗i2

　　∴

S(n)=(n∗(n+1)2)2−∑i=2ni2∗S(⌊ni⌋)

　　8.求 ∑ni=1∑nj=1gcd(i,j)
　　

∑i=1n∑j=1ngcd(i,j)=∑i=1n∑j=1n∑d|gcd(i,j)ϕ(d)=∑i=1n∑j=1n∑d|i,d|jϕ(d)=∑d=1n∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊nd⌋ϕ(d)=∑d=1nϕ(d)∗⌊nd⌋∗⌊nd⌋

　　转换为问题3

　　9.求 S(n)=∑ni=1i∗ϕ(i)
　　

n(n+1)(2n+1)6=∑i=1ni2=∑i=1n∑d|id∗ϕ(d)∗id=∑i=1ni∑d=1⌊ni⌋d∗ϕ(d)=∑i=1ni∗S(⌊ni⌋)=S(n)+∑i=2ni∗S(⌊ni⌋)

　　10.求 ∑ni=1∑ij=1lcm(i,j)i
　　

∑i=1n∑j=1ilcm(i,j)i=∑i=1n∑j=1ijgcd(i,j)=∑d=1n∑i=1⌊nd⌋∑j=1ij∗[gcd(i,j)=1]=∑d=1n∑i=1⌊nd⌋i∗ϕ(i)2=∑i=1ni∗ϕ(i)2∗⌊ni⌋

　　11.求 ∑ni=1∑mj=1lcm(i,j)
　　不妨设 n≤m
　　

∑i=1n∑j=1mlcm(i,j)=∑d=1nd∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊md⌋ij∗[gcd(i,j)=1]

　　令 F(x,y)=∑xi=1∑yj=1ij∗[gcd(i,j)=1]
　　∴

原式=∑d=1nd∗F(⌊nd⌋，⌊md⌋)

　　分析 F(x,y)
　　

F(x,y)=∑i=1x∑j=1yij∗[gcd(i,j)=1]=∑i=1x∑j=1yij∑d|gcd(i,j)μ(d)=∑d=1xμ(d)∗d2∑i=1⌊xd⌋i∑j=1⌊yd⌋j=∑d=1xμ(d)∗d2∗⌊xd⌋∗(⌊xd⌋+1)∗⌊yd⌋∗(⌊yd⌋+1)4

　　代入原式：
　　

原式=∑d=1nd∑dd=1⌊nd⌋μ(dd)∗dd2∗⌊nd∗dd⌋∗(⌊nd∗dd⌋+1)∗⌊md∗dd⌋∗(⌊md∗dd⌋+1)4

　　预处理以后分块套分块。也可以不预处理，之间分块套分块套杜教筛

//问题4----51nod1244
#include
#include
#include
#include

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100100;
int p[N],v[N],mu[N],tot;
ll l,r,ans,sum[N];
map mp;

ll gao(ll n){
    if (nreturn sum[n];
    if (mp.find(n)!=mp.end()) return mp[n];
    ll res=1,i,nx;
    for (i=2;i<=n;i=nx+1){
        nx=n/(n/i);
        res=res-(nx-i+1)*gao(n/i);
    }
    return mp[n]=res;
}

void pre(){
    for (int i=2;iif (!v[i]) p[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for (int j=1;j<=tot && i*p[j]1;
            if (i%p[j]==0) break;
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    }
    mu[1]=1;
    for (int i=1;i1]+mu[i];
}

int main(){
    freopen("d.in","r",stdin);
    scanf("%lld%lld",&l,&r);pre();
    printf("%lld\n",gao(r)-gao(l-1));
}