线性无关、基、维度

1.线性无关、基、维度

1.1 线性无关

定义1：

定义2：

其实检验矩阵中列向量的线性无关性也就是检验矩阵零空间中是否只有零向量
例如：
$$\begin{gathered} A\mathbf{x}=0 \\ \left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right] \\ {x}_1\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right] \\ \mathbf{x}=\{\begin{array}{l}{x}_1=0\\ x_2=0\end{array}\mathbf{x}=\{\begin{array}{l}{x}_1=1\\ x_2=1\end{array}\dots \dots \end{gathered}$$
此例中解 $\mathbf{x}$ 不只有零向量，还有其他向量，所以矩阵A中列向量线性相关（这里其实就是共线）

1.2 向量空间的基

基：向量张成的空间中线性无关的向量

A列空间的基为：$\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]$ \quad R列空间的基为：$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$

A行空间的基为：$\left[\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right]$ \quad R行空间的基为：$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$

矩阵A和矩阵R列空间的基不同，我们这里要A列空间的基

矩阵$A$ 行空间的基和矩阵$R$ 行空间的基一样，我们选矩阵R行空间的基作为矩阵A行空间的基，类似于单位基向量（因为都是这两个基是倍数关系，所以我们选一个即可）

矩阵A的行空间和列空间的基为：

1.3 向量空间的维度

列空间的维度 = 矩阵的秩

1.4 矩阵空间和函数空间的基

1.4.1 矩阵空间的基

二阶对角矩阵（Diagonal Matrix）的基
$$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$

二阶对称矩阵（Symmetric Matrix）的基
$$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$

基的数量=空间的维度

1.4.1 函数空间的基

$y^{\prime \prime }=0$ 的基函数 $x$ 和 $1$
$y^{\prime \prime }=-y$ 的基函数 $\sin x$ 和 $\cos x$
$y^{\prime \prime }=y$ 的基函数 $e^x$ 和 $e^{-x}$

Complete Solution = Particular Solution + Any function in the nullspace

$$\begin{gathered} y^{\prime \prime }(x)=2 \\ {y}^{\prime }(x)=2x \\ {y}_p(x)=x^2 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} y^{\prime \prime }(x)=0 \\ {y}^{\prime }(x)=c \\ {y}_n(x)=cx+d \end{gathered}$$
$$y(x)=y_p(x)+y_n(x)=x^2+cx+d$$