Matlab中fft作频谱横纵坐标

关于这个问题,在很早之前就分享过,也通过了解实现了算法,当时看的明白,想的明白,突然要用的时候,又开始疑问,不免有些纠结,与其每次使用的时候都查,浪费时间,还不如,一次搞定。

真心没把哪门没学好的课程,归结到老师,但fft这事,还真得跟大学老师讨个说法,哈哈。

 

matlab FFT 横坐标问题:前人关于FFT横坐标的详细阐述

我们知道Fourier分析是信号处理里很重要的技术,matlab提供了强大的信号处理能力,但是有一些细节部分需要我们注意。

记信号f(t)的起始时间为t_start, 终止时间为t_end, 采样周期为t_s, 可以计算信号的持续时间Duration为 t_end – t_start, 信号离散化造成的采样点数 N = Duration/t_s + 1;

根据Fourier分析的相关结论,我们知道时域的采样将会造成频域的周期化,该周期为采样频率f_s(著名的香农采样定理基于此).

于是, 经过matlab的fft函数处理后,得到数据的横坐标为0:f_s/(N-1):f_s。相关代码如下所示:

%matlab fft 测试代码

t_s = 0.01;
       t_start = 0.5; t_end = 5;
       t = t_start:t_s:t_end;
       y = 0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
       y_f = fft(y);

subplot(3,1,1);
       plot(t,y); title('original signal');

Duration = t_end - t_start;
       Sampling_points = Duration/t_s + 1;

f_s = 1/t_s;
       f_x = 0:f_s/(Sampling_points-1):f_s;

subplot(3,1,2);
       plot(f_x,abs(y_f)); title('fft transform');

subplot(3,1,3);
       plot(f_x-f_s/2,abs(fftshift(y_f))); title('shift fft transform');

也就是说,如果我们不使用fftshift,其变换后的横坐标为0:f_s/(N-1):f_s,如果使用fftshift命令,0频率分量将会移到坐标中心,这也正是matlab中帮助中心给出的意思:对fft的坐标进行了处理。实际上由于频谱的周期性,我们这样做是合理的,可以接受的。

请读者特别要注意横坐标的差别。另外,根据函数的特性,频谱应当只有在15Hz,40Hz出现峰值,但是fft变换后在60Hz,及85Hz处同样出现了峰值,应当可以从fft的计算过程中得到相应的解释。

 

事实上,如果我们用15Hz,60Hz来测试fft变换,也即是 y = 0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*60*t);图像如下所示,没有任何变化。

 这种现象提醒我们,频率在f_s以内,即 0

实际上,这也就间接地证明了Nyquist采样定理的合理性:采样频率要高于截止频率的两倍,上面的处理中我们所使用的采样频率为100Hz,于是当截止频率超过50Hz时,就会出现混叠效应,特殊情况就如上图所示:完全一样。于是,这也就告诉我们若要正确的显示频谱,需要仔细地考量采样频率与截止频率的关系,若太小,则有可能出现混叠,若太大,则计算代价过高。

 

上面内容说明了fft横坐标与采样定理的问题,如果你没有这个耐心看完,想着这事啥呀,乱七八糟的。下面我总结了坐标问题如下:

1)如果你用fft(NFFT)计算振幅谱,且fft变换后的点数为NFFT的话,只用fft,而不用fftshift,那么:

      你只需要显示fft变换结果的前NFFT/2个点,横坐标为fx=index*Fs/(nfft-1),index=0:nfft/2-1 ;

2)如果你用fft(NFFT)计算振幅谱,且fft变换后的点数为NFFT的话,用了fft,还用了fftshift,那么:

      你需要显示fft变换结果的数据点,横坐标为 fx = 0:Fs/(nfft-1):Fs;fx=fx-Fs/2;

原因:对实信号fft,产生了负频率,由于FFT变化是对称的,所以负频率对应到了Fs/2~Fs上,对实信号而言,该段频率没有任何意义,所以只显示到Fs/2。

 

 

matlab FFT 纵坐标问题:前人关于FFT纵坐标的详细阐述

一.调用方法
X=FFT(x);
X=FFT(x,N);
x=IFFT(X);
x=IFFT(X,N)
用MATLAB进行谱分析时注意:
(1)函数FFT返回值的数据结构具有对称性。
例:
N=8;
n=0:N-1;
xn=[4 3 2 6 7 8 9 0];
Xk=fft(xn)

Xk =

39.0000 -10.7782 + 6.2929i 0 - 5.0000i 4.7782 - 7.7071i 5.0000 4.7782 + 7.7071i 0 + 5.0000i -10.7782 - 6.2929i
Xk与xn的维数相同,共有8个元素。Xk的第一个数对应于直流分量,即频率值为0。
(2)做FFT分析时,幅值大小与FFT选择的点数有关,但不影响分析结果。在IFFT时已经做了处理。要得到真实的振幅值的大小,只要将得到的变换后结果乘以2除以N即可。
二.FFT应用举例
例1:x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t)。采样频率fs=100Hz,分别绘制N=128、1024点幅频图。
clf;
fs=100;N=128; %采样频率和数据点数
n=0:N-1;t=n/fs; %时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %信号
y=fft(x,N); %对信号进行快速Fourier变换
mag=abs(y); %求得Fourier变换后的振幅
f=n*fs/N; %频率序列
subplot(2,2,1),plot(f,mag); %绘出随频率变化的振幅
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');title('N=128');grid on;
subplot(2,2,2),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)); %绘出Nyquist频率之前随频率变化的振幅
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');title('N=128');grid on;
%对信号采样数据为1024点的处理
fs=100;N=1024;n=0:N-1;t=n/fs;
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %信号
y=fft(x,N); %对信号进行快速Fourier变换
mag=abs(y); %求取Fourier变换的振幅
f=n*fs/N;
subplot(2,2,3),plot(f,mag); %绘出随频率变化的振幅
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');title('N=1024');grid on;
subplot(2,2,4)
plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)); %绘出Nyquist频率之前随频率变化的振幅
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');title('N=1024');grid on;
运行结果:

 

fs=100Hz,Nyquist频率为fs/2=50Hz。整个频谱图是以Nyquist频率为对称轴的。并且可以明显识别出信号中含有两种频率成分:15Hz和40Hz。由此可以知道FFT变换数据的对称性。因此用FFT对信号做谱分析,只需考察0~Nyquist频率范围内的福频特性。若没有给出采样频率和采样间隔,则分析通常对归一化频率0~1进行。另外,振幅的大小与所用采样点数有关,采用128点和1024点的相同频率的振幅是有不同的表现值,但在同一幅图中,40Hz与15Hz振动幅值之比均为4:1,与真实振幅0.5:2是一致的。为了与真实振幅对应,需要将变换后结果乘以2除以N。
例2:x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t),fs=100Hz,绘制:
(1)数据个数N=32,FFT所用的采样点数NFFT=32;
(2)N=32,NFFT=128;
(3)N=136,NFFT=128;
(4)N=136,NFFT=512。
clf;fs=100; %采样频率
Ndata=32; %数据长度
N=32; ?T的数据长度
n=0:Ndata-1;t=n/fs; %数据对应的时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %时间域信号
y=fft(x,N); %信号的Fourier变换
mag=abs(y); %求取振幅
f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率
subplot(2,2,1),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅
xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');
title('Ndata=32 Nfft=32');grid on;

Ndata=32; %数据个数
N=128; ?T采用的数据长度
n=0:Ndata-1;t=n/fs; %时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
y=fft(x,N);
mag=abs(y);
f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率
subplot(2,2,2),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅
xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');
title('Ndata=32 Nfft=128');grid on;

Ndata=136; %数据个数
N=128; ?T采用的数据个数
n=0:Ndata-1;t=n/fs; %时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
y=fft(x,N);
mag=abs(y);
f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率
subplot(2,2,3),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅
xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');
title('Ndata=136 Nfft=128');grid on;

Ndata=136; %数据个数
N=512; ?T所用的数据个数
n=0:Ndata-1;t=n/fs; %时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
y=fft(x,N);
mag=abs(y);
f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率
subplot(2,2,4),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅
xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');
title('Ndata=136 Nfft=512');grid on;

结论:
(1)当数据个数和FFT采用的数据个数均为32时,频率分辨率较低,但没有由于添零而导致的其他频率成分。
(2)由于在时间域内信号加零,致使振幅谱中出现很多其他成分,这是加零造成的。其振幅由于加了多个零而明显减小。
(3)FFT程序将数据截断,这时分辨率较高。
(4)也是在数据的末尾补零,但由于含有信号的数据个数足够多,FFT振幅谱也基本不受影响。
对信号进行频谱分析时,数据样本应有足够的长度,一般FFT程序中所用数据点数与原含有信号数据点数相同,这样的频谱图具有较高的质量,可减小因补零或截断而产生的影响。

例3:x=cos(2*pi*0.24*n)+cos(2*pi*0.26*n)

(1)数据点过少,几乎无法看出有关信号频谱的详细信息;
(2)中间的图是将x(n)补90个零,幅度频谱的数据相当密,称为高密度频谱图。但从图中很难看出信号的频谱成分。
(3)信号的有效数据很长,可以清楚地看出信号的频率成分,一个是0.24Hz,一个是0.26Hz,称为高分辨率频谱。
可见,采样数据过少,运用FFT变换不能分辨出其中的频率成分。添加零后可增加频谱中的数据个数,谱的密度增高了,但仍不能分辨其中的频率成分,即谱的分辨率没有提高。只有数据点数足够多时才能分辨其中的频率成分。

 

======================评论======================================

1)FFT的算法与奈奎斯特频率没有关系,奈奎斯特频率只是用来避免频率的混叠。

2)对称是因为fft本身算法产生的吧!奈奎斯特频率是系统最高频率*2得到的最低采样频率,和fft没有关系啊,如果低于奈奎斯特频率采样,就会发生频谱混叠,是把大于系统最高频率的部分对称加到小于的部分,发生混叠现象。

3)"频谱图是以Nyquist频率为对称轴的"这句话不对。对称轴是N/2


 

上面内容说明了fft纵坐标的问题,如果你没有这个耐心看完,想着这事啥呀,乱七八糟的。下面我总结了坐标问题如下:

1)如果你用fft(NFFT)计算振幅谱,且fft变换后的点数为NFFT的话,那么将得到的振幅谱abs(fft(x))的结果乘以2然后除以N。

2)无。

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