三维重建系列——坐标系从二维到三维

首先上一个总图：

下面依次介绍平移坐标，内参矩阵外参矩阵的具体表示：
一，图像坐标系和像素坐标系
像素坐标系中，每一像素的坐标(u，v)分别是该像素在数组中的列数和行数。所以(u，v)是以像素为单位的图像坐标系的坐标。由于(u，v)只表示像素位于数组中的行列数，并没有用物理单位表示出该像素在图像中的位置。所以建立以物理单位(毫米)表示的图像坐标系。该坐标系以图像内某一点O为原点，原点O定义在相机光轴与图像平面的交点，该点一般位于图像中心处.x轴与y轴分别与u、v两轴平行，如下图所示;
若O在u，v坐标系中的坐标为(u0，v0)，每一个像素在x轴与y轴方向上的物理尺寸为dx、dy，则图像中任意一个像素在两个标系下的坐标有如下对应关系：

用齐次坐标与矩阵形式将上式表示为平移公式：

二，二维到三维的转换
首先完成从相机坐标系到图像坐标系的转化，
其中由焦距组成的矩阵为投影矩阵，将平移公式代入可得其中，Zc为比例因子，

为u轴上的尺度因子，也称为u轴上的归一化焦距；

为v轴上的尺度因子，也称为v轴上的归一化焦距；由于

这些参数只与相机的内部参数有关，因此他们所组成的矩阵成为称为相机的内参矩阵

三，相机坐标系向世界坐标系的转换关系
下图所示为相机成像的几何关系。其中O点称为相机光心，Xc轴与x轴平行，Yc轴与图像的y轴平行，Zc轴为相机的光轴，并且与图像平面垂直。光轴与图像平面的交点即为图像坐标系的原点，由点O点与Xc，Yc，Zc轴所组成的直角坐标系称为相机坐标系，其中OOc为相机焦距。相机坐标系与世界坐标系之间的关系可以用旋转矩阵R与平移向量t来描述。假设空间中某一点P在世界坐标系与相机坐标系下的齐次坐标分别是(Xw，Yw，Zw，1)T与(Xc，Yc，Zc，1)T，则存在如下对应关系：

其中，K2矩阵包含了旋转矩阵和平移矩阵，这是将相机坐标下的坐标转化为世界坐标系的过程，由相机相对于世界坐标系的方位决定，因此称K2为外参矩阵维度为4*4。