定义问题以及用QUBO表示约束

定义问题以及用QUBO表示约束

D-Wave擅长解决的问题之一就是二值优化（optimization of binary variables）问题。二值变量只有变量 0（NO, or FALSE）和变量 1（YES, or TRUE）。

传统计算机可以被认为是由逻辑门（logic gates）组成的，逻辑门是一种简单的决策装置，其根据输入产生输出。虽然 D-Wave 系统并不是基于门的，但巧合的是一个特殊的门（异或门）形成了系统要解决的第一个优化问题。

异或门内容如下：
假设由两个二值的输入$a,b$ 。若$a=0且b=0$，则输出为 $1$, 若$a=1且b=1$，则输出为 $1$, 其他情况下输出为0.

定义目标函数

对于一个有两个qubit的问题，我们希望在退火之后的 qubits 得到一样的值。qubit 的状态有4种情况，如下表所示：

$q_0$	$q_1$
0	0
0	1
1	0
1	1

我们需要定义一个目标函数，使其最终实现状态（0，0）和（1，1）。在目标函数中，qubit 是变量。bias（qubit 偏置） 和 strengths（couplers 的强度）是线性项和二次项上的系数。两个 qubit 问题的目标函数有三个项。目标函数的形式如下：

$$f(s)=a_1{q}_1+a_2{q}_2+b_{1,2}{q}_1{q}_2\text{\hspace{1em}(5.1)}$$

其中 $s$ 是变量 $q=[q_1,q_2]$ 的向量，$a_1$和$ a_2$ 是 qubit biases，$b_{1,2}$ 是 coupler 的权重（strengths）。

设置满足最初目标的 $a_1,a_2,b_{1,2}$。首先可以看到，当 $q_1$ 和 $q_2$ 都等于0（记为(0,0)）时，目标函数的值为0，也没有其他可调参数。这就是我们希望得到的状态，对应于基态的最小能量应该为0。同时不希望有状态(0,1)和(1,0)。一种办法就是给 $a_1,a_2$ 两个 biases 都设置为 0.1:

$q_0$	$q_1$	Objective Value
0	0	0
0	1	0.1
1	0	0.1
1	1	0.2 + $b_{1,2}$

又因为状态(1,1)也是我们希望得到的状态，一种方式就是给coupler权重设置 $b_{1,2}=-0.2$ .最终的目标函数是：

$$f(s)=0.1q_1+0.1q_2-0.2q_1{q}_2\text{\hspace{1em}(5.2)}$$

上述表格的输出就变成如下所示：

$q_0$	$q_1$	Objective Value
0	0	0
0	1	0.1
1	0	0.1
1	1	0

当我们对这个问题在D-Wave系统上运行了很多次退火之后（也称为 采样(samples) or 读取(reads)），我们希望得到基态(0,0)和(1,1)，而不是激发态(0,1)和(1,0)。

把这个问题在D-Wave2000Q系统上运行1000次之后，可以获得1000个采样结果。

Energy	State	Occurrences
0	(0,0)	555
0	(1,1)	443
0.1	(0,1)	1
0,1	(1,0)	1

如果再次运行这个问题，我们期望得到的 energy 0 可能会有不同，但是一定是在500的附近（样本的50%左右）。

需要注意的是，结果中大多数情况是(0,0)和(1,1)，调用足够多次QPU时，会看到偶尔的(0,1)和(1,0)这样的解。对于更复杂的 QUBOs ，这种反复求解同一个问题以获得一系列答案的过程称为采样（sampling）。

问题缩放（Problem Scaling）

考虑另外一个 2-qubit 问题，这次给 qubit biases 和 coupler strength 分别赋值0.5和1，目标函数如下：

$$f(s)=0.5q_1+0.5q_2-q_1{q}_2\text{\hspace{1em}(5.3)}$$

同上，可以得到如下结果：

$q_0$	$q_1$	Objective Value
0	0	0.5
0	1	0.5
1	0	0.5
1	1	0

因为这个问题的激发态和前面那个问题中的值不同，导致基态和激发态之间的能量差更大（0.5 和 0.1），所以这次可能会看到不同的结果。话句话说，当基态和激发态之间存在较大的间隙（能量差）时，从基态更不容易达到激发态。

前面在第一个问题中，我们在返回的结果中可以看到了一小部分激发态。如果我们多次运行这两个问题，通常会观察到相同的结果，但实际是第二个问题(明显)存在较大差距，这与我们的预期的50%差别有点大。

这一结果是由D-Wave系统的一个称为**自动缩放（auto-scaling）**的功能引起的。每个QPU的偏差 $a$ 和强度 $b$ 都有一个允许的范围值。除非我们明确禁用自动缩放，否则D-Wave软件会调整问题的 $a$ 和 $b$ 的值，使得把问题发送到QPU之前采用整个可用的(a，b)范围。因此，在运行这两个问题时，它们向QPU呈现相同的(a，b)值，因此返回的解决方案实际上是相同的。当在运行结束返回能量值和目标值时，我们使用的是预缩放（pre-scaling）值。

下面来测试一下这个功能。首先运行第一个问题1000次（激发态的值是 0.1），禁用 auto-scaling。这次看到的结果如下所示：

Energy	State	Occurrences
0	(0,0)	272
0	(1,1)	526
0.1	(0,1)	124
0.1	(1,0)	68

然后运行第二个问题1000次（激发态的值是 0.5），禁用 auto-scaling。这次看到的结果如下所示：

Energy	State	Occurrences
0	(0,0)	436
0	(1,1)	563
0.5	(0,1)	1
0.5	(1,0)	0

这些结果表明，在没有自动缩放（auto-scaling）的情况下，第一个问题比第二个问题具有更小的间隙（基态和激发态的能量差），并且返回更多的激发态样本。间隙越小，从基态变到激发态越容易（激发态的次数越多）。

用 QUBO 来表示约束

先用 QUBOs 定义一个简单的约束（constraints），可以拓展到更大更复杂的问题中。

exactly-one-true 约束是一个布尔（Boolean）可满足性（satisfiability）问题，给定一组变量，我们想知道何时恰好有一个变量为1（真）。

例如，当优化一个旅行销售人员通过一系列城市的路线时（TSP），需要一个约束条件，必须强制销售人员在旅行的每个阶段只能在一个地方（exactly one city），同时在多个地方是无效的。

Figure 6.1: The traveling salesperson problem（TSP） is an optimization problem that can be solved using exactly-one-true constraints. Map data © 2017 GeoBasis-DE/BKG (© 2009), Google.

下面就来说明一下如何以D-Wave可以解决的方式来构建一个简单的 exactly-one-true。步骤如下：

1. 从目标函数开始：在这个例子中，就是从有三个变量的 exactly-one-true 约束开始，然后建立一个满足这个目标的真值表。
2. 建立一个能够得到所期望的状态且抑制其他状态的 QUBO。
3. 把 QUBO 转换到一个graph中。

对目标函数建真值表

考虑一个简单的例子：给定三个变量 $a,b,c$ ，我们想知道什么时候恰好只有一个变量是1。（也就是说，$a,b,c$ 中只有一个变量是1，而其他两个变量是0），真值表表示如下：

$a$	$b$	$c$	Exactly 1
0	0	0	FALSE
1	0	0	TRUE
0	1	0	TRUE
1	1	0	FALSE
0	0	1	TRUE
1	0	1	FALSE
0	1	1	FALSE
1	1	1	FALSE

建立一个只有一个为真的 QUBO

我们希望找到一个函数 $E(a,b,c)$ ，当这个目标为真时，使得函数是最小的，可以用下式表示：

$$a+b+c=1$$

或

$$a+b+c-1=0$$

上述第二个式子表示的含义是，当 $a,b,c$ 都为0时，结果时 -1， 这是一个比 TRUE 状态更低的能量状态。避免这个情况出现的方式是，给这个方程加平方：

$$(a+b+c-1{)}^2$$

于是就有平方表达式：

$$E(a,b,c)=(a+b+c-1{)}^2$$

因为这些变量都是二值的（0 和 1），有 $a^2=a$于。是我们的目标函数就变成了

$$E(a,b,c)=2ab+2ac+2bc-a-b-c+1$$

其中函数 $E(a,b,c)$ 的能量（energy）就是目标函数的值。

加入 energy 这一列之后再看一下真值表。需要注意的是，最低能态和 exactly-one-true 约束是匹配的。解越好，能量越低。

$a$	$b$	$c$	Exactly 1	Energy
0	0	0	FALSE	1
1	0	0	TRUE	0
0	1	0	TRUE	0
1	1	0	FALSE	1
0	0	1	TRUE	0
1	0	1	FALSE	1
0	1	1	FALSE	1
1	1	1	FALSE	4

表达为 QUBO 的形式则为：

$$E(x_0,x_1,x_2)=2x_0{x}_1+2x_0{x}_2+2x_1{x}_2-x_0-x_1-x_2+1$$

把 QUBO 转换到 Graph 中

QUBO 能量函数能用三角图表示如图6.2。每个二值变量都是一个带有线性系数的 bias 节点。每个二次项都变成节点之间的一条 edge。

Figure 6.2: Triangular graph showing biased nodes and edges.