TOPSIS法（优劣解距离法）

目录

一、模型介绍

二、模型总结

1、将原始矩阵正向化

2、正向化矩阵标准化

3、计算得分并归一化

三、代码详解

四、模型拓展

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一、模型介绍

C.L.Hwang 和 K.Yoon 于1981年首次提出 TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution)，可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法。TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。基本过程为先将原始数据矩阵统一指标类型（一般正向化处理）得到正向化的矩阵，再对正向化的矩阵进行标准化处理以消除各指标量纲的影响，并找到有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。

层次分析法的一些局限性：

（1）评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵差异可能会很大。

（2）若决策层中指标的数据是已知的，那么我们无法利用数据来使得评价的更加准确。

开始举例：

小明同宿舍共有四名同学，他们第一学期的高数成绩如下表所示：

姓名         成绩
小明         89
小王         60
小张         74
花花         99

请你为这四名同学进行评分，该评分能合理的描述其高数成绩的高低。

逐步解决问题的过程：

1、先类比上一讲层次分析法中要求的那个权重

该想法看上去是不合理的。

因为可以随便修改成绩，只要保证排名不变，那么评分就不会改变！ 

2、那么比较好的做法是什么呢？

最高成绩max ： 99

最低成绩min ： 60

构造计算评分的公式： 

 这时候就得到下表：

 这里要解释三点：

（1）比较的对象一般要远大于两个。（例如比较一个班级的成绩）

（2）比较的指标也往往不只是一个方面的，例如成绩、工时数、课外竞赛得分等。

（3）有很多指标不存在理论上的最大值和最小值，如衡量经济增长水平的指标：GDP增速。

这种做法明显较为妥当！

现在我们将问题拓展一下：增加指标个数。

新增加了一个指标，现在要综合评价四位同学，并为他们进行评分。

 解释：

成绩是越高（大）越好，这样的指标称为极大型指标（效益型指标）。

与他人争吵的次数越少（越小）越好，这样的指标称为极小型指标（成本型指标）。

逐步解决拓展问题的过程：

1、统一指标类型

将所有的指标转化为极大型称为指标正向化（最常用）。

极小型指标转换为极大型指标的公式：max - x 

2、标准化处理

为了消去不同指标量纲的影响，需要对已经正向化的矩阵进行标准化处理。

标准化处理的计算公式：

 

代码：

X = [89,1; 60,3; 74,2; 99,0]

[n , m] = size(X)

X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1)

那么如何计算得分呢？

 

 类比只有一个指标计算得分：

 具体是如下图处理：

X = [89,1;60,3;74,2;99,0]
[n , m] = size(X);
Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5,n,1);
D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)).^2 ],2) .^ 0.5      %D+向量
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)).^2 ],2) .^ 0.5       %D-向量 

得：

二、模型总结

1、将原始矩阵正向化

最常见的四种指标：

所谓的将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为极大型指标。（转换的函数形式可以不唯一哦~ ）

（1）极小型指标 → 极大型指标

极小型指标转换为极大型指标的公式：max - x

如果所有的元素均为正数，那么也可以使用 1 / x

注意：正向化的公式不唯一，大家也可以结合自己的数据进行适当的修改。

（2）中间型指标 → 极大型指标

中间型指标：指标值既不要太大也不要太小，取某特定值最好（如水质量评估 PH 值）

 注意：正向化的公式不唯一，大家也可以结合自己的数据进行适当的修改。

 （3）区间型指标 → 极大型指标

区间型指标：指标值落在某个区间内最好，例如人的体温在36°～37°这个区间比较好。 

 注意：正向化的公式不唯一，大家也可以结合自己的数据进行适当的修改。

2、正向化矩阵标准化

标准化的目的是消除不同指标量纲的影响。

注意：标准化的方法有很多种，其主要目的就是去除量纲的影响，未来我们还可能见到更多种的标准化方法，例如：(x‐x的均值)/x的标准差；具体选用哪一种标准化的方法在多数情况下并没有很大的限制，这里我们采用的是前人的论文中用的比较多的一种标准化方法。 

3、计算得分并归一化

与最小值的距离  /  （与最大值的距离 + 与最小值的距离）

注意：要区别开归一化和标准化。归一化的计算步骤也可以消去量纲的影响，但更多时候，我们进行归一化的目的是为了让我们的结果更容易解释，或者说让我们对结果有一个更加清晰直观的印象。例如将得分归一化后可限制在0‐1这个区间，对于区间内的每一个得分，我们很容易的得到其所处的比例位置。

三、代码详解

1. 将EXCEL中的数据导入到Matlab,并另存为mat文件，下次可直接load 。Matlab中函数的编写和调用。

2. magic(n)幻方矩阵

3. sort函数

4. zeros和ones函数

以上的matlab操作可百度或谷歌一下，资料网上一大把。

第一步：把数据复制到工作区，并将这个矩阵命名为X
% （1）在工作区右键，点击新建（Ctrl+N)，输入变量名称为X
% （2）在Excel中复制数据，再回到Excel中右键，点击粘贴Excel数据（Ctrl+Shift+V）
% （3）关掉这个窗口，点击X变量，右键另存为，保存为mat文件（下次就不用复制粘贴了，只需使用load命令即可加载数据）
% （4）注意，代码和数据要放在同一个目录下哦，且Matlab的当前文件夹也要是这个目录。
clear;clc
load data_water_quality.mat

注意：如果提示: 错误使用 load，无法读取文件 'data_water_quality.mat'。没有此类文件或目录。
% 那么原因是因为你的Matlab的当前文件夹中不存在这个文件
% 可以使用cd函数修改Matlab的当前文件夹
% 比如说，我的代码和数据放在了: D:第2讲.TOPSIS法（优劣解距离法）\代码和例题数据
% 那么我就可以输入命令：
% cd 'D:第2讲.TOPSIS法（优劣解距离法）\代码和例题数据'
% 也可以看我更新的视频：“更新9_Topsis代码为什么运行失败_得分结果怎么可视化以及权重的确定如何更加准确”，里面有介绍

第二步：判断是否需要正向化
[n,m] = size(X);
disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标']) 
Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0：  ']);

if Judge == 1
    Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2、3、6三列需要处理，那么你需要输入[2,3,6]： '); %[2,3,4]
    disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ')
    Type = input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，就输入[1,3,2]：  '); %[2,1,3]
    % 注意，Position和Type是两个同维度的行向量
    for i = 1 : size(Position,2)  %这里需要对这些列分别处理，因此我们需要知道一共要处理的次数，即循环的次数
        X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));
    % Positivization是我们自己定义的函数，其作用是进行正向化，其一共接收三个参数
    % 第一个参数是要正向化处理的那一列向量 X(:,Position(i))   回顾上一讲的知识，X(:,n)表示取第n列的全部元素
    % 第二个参数是对应的这一列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
    % 第三个参数是告诉函数我们正在处理的是原始矩阵中的哪一列
    % 该函数有一个返回值，它返回正向化之后的指标，我们可以将其直接赋值给我们原始要处理的那一列向量
    end
    disp('正向化后的矩阵 X =  ')
    disp(X)
end

%% 作业：在这里增加是否需要算加权
% 补充一个基础知识：m*n维的矩阵A 点乘 n维行向量B，等于这个A的每一行都点乘B
% （注意：2017以及之后版本的Matlab才支持，老版本Matlab会报错）
% % 假如原始数据为：
%   A=[1, 2, 3;
%        2, 4, 6] 
% % 权重矩阵为：
%   B=[ 0.2, 0.5 ,0.3 ] 
% % 加权后为：
%   C=A .* B
%     0.2000    1.0000    0.9000
%     0.4000    2.0000    1.8000
% 类似的，还有矩阵和向量的点除， 大家可以自己试试计算A ./ B
% 注意，矩阵和向量没有 .- 和 .+ 哦 ，大家可以试试，如果计算A.+B 和 A.-B会报什么错误。

%% 这里补充一个小插曲
% % 在上一讲层次分析法的代码中，我们可以优化以下的语句：
% % Sum_A = sum(A);
% % SUM_A = repmat(Sum_A,n,1);
% % Stand_A = A ./ SUM_A;
% % 事实上，我们把第三行换成：Stand_A = A ./ Sum_A; 也是可以的哦 
% % (再次强调，新版本的Matlab才能运行哦)

%% 让用户判断是否需要增加权重
disp('请输入是否需要增加权重向量，需要输入1，不需要输入0')
Judge = input('请输入是否需要增加权重： ');
if Judge == 1
    disp(['如果你有3个指标，你就需要输入3个权重，例如它们分别为0.25,0.25,0.5, 则你需要输入[0.25,0.25,0.5]']);
    weigh = input(['你需要输入' num2str(m) '个权数。' '请以行向量的形式输入这' num2str(m) '个权重: ']);
    OK = 0;  % 用来判断用户的输入格式是否正确
    while OK == 0 
        if abs(sum(weigh) - 1)<0.000001 && size(weigh,1) == 1 && size(weigh,2) == m   % 这里要注意浮点数的运算是不精准的。
             OK =1;
        else
            weigh = input('你输入的有误，请重新输入权重行向量: ');
        end
    end
else
    weigh = ones(1,m) ./ m ; %如果不需要加权重就默认权重都相同，即都为1/m
end

第三步：对正向化后的矩阵进行标准化
Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
disp('标准化矩阵 Z = ')
disp(Z)

第四步：计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分
D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weigh,n,1) ,2) .^ 0.5;   % D+ 与最大值的距离向量
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weigh,n,1) ,2) .^ 0.5;   % D- 与最小值的距离向量
S = D_N ./ (D_P+D_N);    % 未归一化的得分
disp('最后的得分为：')
stand_S = S / sum(S)
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')

% A = magic(5)  % 幻方矩阵
% M = magic(n)返回由1到n^2的整数构成并且总行数和总列数相等的n×n矩阵。阶次n必须为大于或等于3的标量。
% sort(A)若A是向量不管是列还是行向量，默认都是对A进行升序排列。sort(A)是默认的升序，而sort(A,'descend')是降序排序。
% sort(A)若A是矩阵，默认对A的各列进行升序排列
% sort(A,dim)
% dim=1时等效sort(A)
% dim=2时表示对A中的各行元素升序排列
% A = [2,1,3,8]
% Matlab中给一维向量排序是使用sort函数：sort（A），排序是按升序进行的，其中A为待排序的向量；
% 若欲保留排列前的索引，则可用 [sA,index] = sort(A,'descend') ，排序后，sA是排序好的向量，index是向量sA中对A的索引。
% sA  =  8     3     2     1
% index =  4     3     1     2

三种类型矩阵的正向化：

% function [输出变量] = 函数名称(输入变量）  
% 函数的中间部分都是函数体
% 函数的最后要用end结尾
% 输出变量和输入变量可以有多个，用逗号隔开
% function [a,b,c]=test(d,e,f)
%     a=d+e;
%     b=e+f;
%     c=f+d;
% end
% 自定义的函数要单独放在一个m文件中，不可以直接放在主函数里面（和其他大多数语言不同）

function [posit_x] = Positivization(x,type,i)
% 输入变量有三个：
% x：需要正向化处理的指标对应的原始列向量
% type： 指标的类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
% i: 正在处理的是原始矩阵中的哪一列
% 输出变量posit_x表示：正向化后的列向量
    if type == 1  %极小型
        disp(['第' num2str(i) '列是极小型，正在正向化'] )
        posit_x = Min2Max(x);  %调用Min2Max函数来正向化
        disp(['第' num2str(i) '列极小型正向化处理完成'] )
        disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
    elseif type == 2  %中间型
        disp(['第' num2str(i) '列是中间型'] )
        best = input('请输入最佳的那一个值： ');
        posit_x = Mid2Max(x,best);
        disp(['第' num2str(i) '列中间型正向化处理完成'] )
        disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
    elseif type == 3  %区间型
        disp(['第' num2str(i) '列是区间型'] )
        a = input('请输入区间的下界： ');
        b = input('请输入区间的上界： '); 
        posit_x = Inter2Max(x,a,b);
        disp(['第' num2str(i) '列区间型正向化处理完成'] )
        disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
    else
        disp('没有这种类型的指标，请检查Type向量中是否有除了1、2、3之外的其他值')
    end
end

补充1：Min2Max.m

function [posit_x] = Min2Max(x)
    posit_x = max(x) - x;
     %posit_x = 1 ./ x;    %如果x全部都大于0，也可以这样正向化
end

补充2：Mid2Max.m

function [posit_x] = Mid2Max(x,best)
    M = max(abs(x-best));
    posit_x = 1 - abs(x-best) / M;
end

四、模型拓展

1、如何计算得分？

X = [89,1;60,3;74,2;99,0]

[n , m] = size(X);

Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5,n,1);

D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)).^2 ],2) .^ 0.5 %D+向量

D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)).^2 ],2) .^ 0.5 %D-向量 

2、类比只有一个指标计算得分

 

3、带权重的TOPSIS

当然：层次分析法的主观性太强了，更推荐大家使用熵权法来进行客观赋值。
相关内容可查看视频：番外篇：基于熵权法对Topsis模型的修正（正课最后一个视频）
（注意，番外篇里面涉及到的代码有后面的内容，建议基础不好的同学把后续视频看完后再去看番外篇，后续会出~~） 

我是花花，祝自己也祝您变强了~~