计算机图形学入门-线性代数复习

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计算机图形学中更依赖线性代数,主要使用到:向量的点乘,叉乘,向量 x 矩阵描述变换:如向量的平移和旋转操作可以用向量乘矩阵来表示;

向量(Vectors)

有方向有大小的量
方向:A->B :  \underset{AB}{\rightarrow} = B - A;
长度:|| \underset{AB}{\rightarrow}||
向量平移后表示的是同一个向量


单位向量(长度为1的向量):\widehat{a}\underset{a}{\rightarrow} / ||a||,图形学里表示方向时都用单位向量表示,不用关心它的长度

向量加法:三角形法则 \underset{AB}{\rightarrow} +\underset{BC}{\rightarrow} = \underset{AC}{\rightarrow} , 平移后面的向量使其开始跟前面的向量的结束重合,再由前面的向量的开始指向后一个向量的结束;

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图形学中笛卡尔坐标系中向量的表示\binom{x}{y},(0,0)固定是所有向量的起点(x,y)是终点

向量的点乘

\underset{a}{\rightarrow} \cdot \underset{b}{\rightarrow} = \left \| a \right \| \left \| b \right \| cos\Theta   

几何意义:是一条边向另一条边的投影乘以另一条边的长度。

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 向量点乘满足交换律,结合律,和分配律

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 向量点乘的计算描述:对应的项相乘然后加起来

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 向量点乘在图形学中的作用:
        求两个向量的夹角;
        求一个向量在另一个向量上的投影;
        做向量的垂直 分解;
        判断方向性:方向基本一致:点积>0;   方向基本相反:点积<0;   向量相互垂直:点积=0;(锐角、钝角、直角)

向量叉乘

叉乘结果:两个参与叉乘的向量(a , b)得到一个新的向量 ( c ),且该向量( c )垂直于参与叉乘的两个向量(a , b);结果向量(c)的方向由右手定则可以判断;
右手定则:右手掌心由 a 旋转到 b ,得到大拇指所指方向即是叉积向量的方向;


\underset{a}{\rightarrow}\times \underset{b}{\rightarrow} \doteq -\underset{b}{\rightarrow}\times \underset{a}{\rightarrow}

|| \underset{a}{\rightarrow}\times \underset{b}{\rightarrow} || = ||\underset{a}{\rightarrow}|| ||\underset{b}{\rightarrow}|| sin\Theta

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怎么算:

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 用手机的连线解锁 由 Xa -> Ya -> Za -> 0 ,0 ,0 -> -Xa -> -Ya -> -Za方便记住

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向量叉乘的作用
用于构建坐标系;
当a是单位向量时,计算b终点到a所在直线的距离;
在二维空间中,aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。
判断两向量的左右关系:即判断叉积的正负,a x b = +c ==> ba的左侧;ab的右侧
判断一个点是否在某个多边形内部:判断点是否都在每条边的左边,或者是否都在右边,是则表示点在多边形内部,图形学中光栅化时需要判断

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AB x AP = +  ==>P在AB的左侧;
BC x BP = +  ==>P在BC的左侧;
CA x CP = +  ==>P在CA的左侧;所以P在三角形ABC内;

矩阵(Matrices)

矩阵就是一堆数,把这堆数安排在一个平面内,再按照m行n列来排列构成m \times n 的矩阵;矩阵在图形学中最大的应用就是描述变换;

矩阵的乘积

A,B 两个矩阵要相乘 ,必须满足 A的行数量 == B的列数量,结果矩阵是一个有A的行数和B的列数的矩阵;结果矩阵中的元素(i, j)为A的第i行和B的第j列的点积;

如:下图结果矩阵中第2行第3列的值是 A的第二行第一个数:5 乘以 B的第三列第一个数:9 加上A的第二行第二个数:2 乘以 B的第三列第二个数:8 
即:5 x 9 + 2 x 8 = 61;
(M x N) (N x P) = (M x P)

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 图中空缺处:1 x 6 + 3 x 7 = 27;   0 x 4 + 4 x 3 = 12

 矩阵乘积的性质:
   没有任何交换律: AB !== BA; (先旋转再平移和先平移再旋转的结果是不一样的;\because 矩阵描述的旋转都是围绕原点旋转)
   有结合律和分配律:(AB)C=A(BC) ; A(B+C) = AB + AC; (A+B)C = AC + BC;

矩阵的转置:
m行n列的矩阵变为n行m列的矩阵;
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性质:对乘积的转置,需要分别对两个矩阵转置再乘积;

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 单位矩阵: 矩阵右上到左下那条都是1,其他的元素都是0。任何矩阵与单位矩阵相乘都等于本身

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 逆矩阵:两个矩阵的乘积是单位矩阵。则称这两个矩阵互逆;

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正交矩阵:矩阵的逆矩阵正好是它的转置,则矩阵A称为正交矩阵;
                  AA^{T} = I^{}
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矩阵向量乘法

始终将向量视为列矩阵(m×1),m是向量的维数。矩阵始终要在向量的左侧,列向量始终在最右侧。列向量的变换中。按顺序变换的各个矩阵都在列向量左侧,从右到左按变换的先后的顺序排列排列,也就是说越靠近列向量的矩阵越先发生变换;

下面的运算描述向量(x,y)按y轴进行对称映射

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 向量点乘的矩阵表示:

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