多目标优化（智能算法）

多目标优化模型求解方案

(1) 概念引入

1.多目标优化模型

• 数学模型(一般都转化成最小问题)$$\begin{gathered} \min F(x)=(f_1(x),f_2(x),\dots ,f_m(x)) \\ s.t.x\in \Omega \end{gathered}$$
• 决策空间： $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$所在的空间 $\Omega$，其中 $\Omega =\{x\in R^n|g_i(x)\le 0,i=1,2,\dots ,p\}$。
• 目标空间：$m$维向量$F(x)$所在的空间。

2.支配

• 定义1：对最小化问题，一个向量 $u=(u_1,u_2,\dots ,u_w)$ 称为支配(优于)另一个向量 $v=(v_1,v_2,\dots ,v_w)$，当且仅当 $u_i\le v_{i}i=1，2，\cdots ，m$ 且 $\exists j\in \{1，2,\cdots ,m\}，u_j<v_j。$
• 定义2：对于任意两个自变量向量$x_1，x_2\exists \Omega$,如果下列条件成立：$$\begin{gathered} f_i(x_1)\le f_i(x_2),\forall i\in \{1,2,\cdots ,m\} \\ {f}_j(x_1)\le f_j(x_2),\forall j\in \{1,2,\cdots ,m\} \end{gathered}$$则称 $x_1$ 支配 $x_2$。
• 定义3：
  • 如果 $Q$ 中没有支配（优于）$x$ 的解，则称 $x$ 是问题的一个Pareto最优解。
  • Pareto最优解的全体被称作Pareto最优解集；Pareto最优解集在目标函数空间的像集称为Pareto Front（Pareto前沿，阵（界）面）。

(2) 多目标优化的传统解法

• 加权法
• 理想点法(TOPSIS)
• 分层序列法(就是每次先求出一个最优值，然后把这个最优值当作不等式限制)
  • 把 $m$ 个目标篇按重要程度排序。假定 $f_1(x)$ 最重要，$f_m(x)$ 最不重要。
  • 先求问题$$\begin{gathered} \min f_1(x) \\ s.t.x\in \Omega \end{gathered}$$ 的最优解 $x^{(1)}$ 及最优值 $f_1^{\ast }$。
  • 再求问题$$\begin{gathered} \min f_2(x) \\ s.t.x\in {\Omega }_1=\Omega \cap \{x|f_1(x)\le f_1^{\ast }\} \end{gathered}$$ 的最优解 $x^{(1)}$ 及最优值 $f_1^{\ast }$。
  • 重复上面的步骤。

(3) 智能优化算法

• 这里选取 NSGA-II 方法
• 算法简介
  • 首先随机产生种群规模为 $N$ 的初始种群 $P_t$，进化代数 $t=0$。
  • 开始循环，对 $P_t$ 进行交叉变异操作生成新种群 $Q_t$。
  • 取 $R_t=P_t\cup Q_t$。
  • 对 $R_t$ 进行非劣分类。
  • 按非劣等级从低到高选出 $N$ 个个体填充到 $P_{t+1}$ 中。
    • 获取 $R_t$ 中的第一非劣等级个体集，判断并决定该非劣等级能否全被新种群容纳。如果能，将该非劣等级的所有个体填充到新种群中，继续判断下一非劣等级能否全被新种群容纳。
    • 如此反复，直到不能容纳该非劣等级的所有个体,假设为第 $i+1$ 级。对最后不能被完全容纳的非劣组中的个体求其拥挤距离,并选择分布最广的个体填充满新种群。
  • 重复
• 快速非支配排序方法
  • 首先不被任何点支配的点选出来，成为 $F_1$。
  • 把选出来的点支配的点的支配关系全部删除，然后再看现在有哪些点不被任何点支配，成为 $F_2$.
• 拥挤距离$$d_i=\sum _{m=1}^M|f_m^{i+1}-f_m^{i-1}|$$
  • $d_i$ 表示第 $i$ 个个体的拥挤距离。
  • $i-1$ 和 $i+1$ 是个体 $i$ 沿着 $i$ 所在的Pareto Front Line 的两边邻近的两个个体。
  • $f_m^{i+1}$ 和 $f_m^{i-1}$ 分别表示 $i-1$ 和 $i+1$ 个个体第 $m$ 个目标函数值。(下面的图$m=1,2$)

(3) matlab的智能优化算法

1. 基本的两个函数

• 参数设置
  • options=gaoptimset('paretoFraction',0.3,'populationsize',100'generations',200,'stallGenLimit',200,'TolFun',1e-10,'PlotFcns',@gaplotpareto);
  • paretoFraction：最优个体系数这里设为0.3
  • populationsize：种群大小这里设为100
  • generations：最大进化代数这里设为200
  • stallGenLimit：停止代数这里设为200
  • TolFun：适应度函数偏差这里设为1e-10
  • gaplotpareto：绘制Pareto前沿
• 函数引用
  • [X,FVAL]=gamultiobj(fitnessfcn,nvars,A,b, Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options))
  • fitnessfcn：函数句柄。
  • nvars：变量个数。
  • ub,lb：上下限。
  • A,b：线性不等式约束。
  • Aeq,beq：线性等式约束。

2. 例子

• 函数定义

%%这里定义该函数
function y=Fun(x) 
y(1)=x(1); 
y(2)=(1+x(2))/x(1); 

• 进行计算

%%这里赋初值并且进行多目标优化的计算
fitnessfcn=@Fun;
nvars=2; 
lb=[0.1,0]; 
ub=[1,5]; 
A=[-9,-1;-9,1];
b=[-6;-1]; 
Aeq=[];
beq=[]; 
 
options=gaoptimset('paretoFraction',0.4,'populationsize',200,'generations',300,'stallGenLimit',300,'TolFun',1e-10,'PlotFcns',@gaplotpareto); 

[x,fval]=gamultiobj(fitnessfcn,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options)

• 结果

3. 如果有三个目标

• 可以先优化出来，得到 fval 然后用 scatter3 进行绘制。
• 对上面的问题增加条件 $$min{x}_1+x_2$$
• 增加 scatter3(fval(:,1),fval(:,2),fval(:,3))
• 得到结果

现在已经转移到知乎，之后的文章会在知乎更新。