高等数学(第七版)同济大学 习题12-2 个人解答

高等数学(第七版)同济大学 习题12-2

 

1.  用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性: \begin{aligned}&1. \ 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性:&\end{aligned} 1. 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性:

   ( 1 )    1 + 1 3 + 1 5 + ⋅ ⋅ ⋅ + 1 ( 2 n − 1 ) + ⋅ ⋅ ⋅ ;    ( 2 )    1 + 1 + 2 1 + 2 2 + 1 + 3 1 + 3 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 1 + n 1 + n 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ;    ( 3 )    1 2 ⋅ 5 + 1 3 ⋅ 6 + ⋅ ⋅ ⋅ + 1 ( n + 1 ) ( n + 4 ) + ⋅ ⋅ ⋅ ;    ( 4 )    s i n   π 2 + s i n   π 2 2 + s i n   π 2 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + s i n   π 2 n + ⋅ ⋅ ⋅ ;    ( 5 )    ∑ n = 1 ∞ 1 1 + a n   ( a > 0 ) . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{(2n-1)}+\cdot\cdot\cdot;\\\\ &\ \ (2)\ \ 1+\frac{1+2}{1+2^2}+\frac{1+3}{1+3^2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1+n}{1+n^2}+\cdot\cdot\cdot;\\\\ &\ \ (3)\ \ \frac{1}{2\cdot 5}+\frac{1}{3\cdot 6}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{(n+1)(n+4)}+\cdot\cdot\cdot;\\\\ &\ \ (4)\ \ sin\ \frac{\pi}{2}+sin\ \frac{\pi}{2^2}+sin\ \frac{\pi}{2^3}+\cdot\cdot\cdot+sin\ \frac{\pi}{2^n}+\cdot\cdot\cdot;\\\\ &\ \ (5)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+a^n}\ (a \gt 0). & \end{aligned}   (1)  1+31+51++(2n1)1+  (2)  1+1+221+2+1+321+3++1+n21+n+  (3)  251+361++(n+1)(n+4)1+  (4)  sin 2π+sin 22π+sin 23π++sin 2nπ+  (5)  n=11+an1 (a>0).

解:

   ( 1 )  因为 lim ⁡ n → ∞ 1 2 n − 1 1 n = 1 2 ,而 ∑ n = 1 ∞ 1 n 发散,根据极限形式的比较审敛法可知,该级数发散。    ( 2 )   u n = 1 + n 1 + n 2 > 1 + n n + n 2 = 1 n ,而 ∑ n = 1 ∞ 1 n 发散,根据比较审敛法可知,该级数发散。    ( 3 )  因为 lim ⁡ n → ∞ 1 ( n + 1 ) ( n + 4 ) 1 n 2 = 1 ,而 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 收敛,根据极限形式的比较审敛法可知,该级数收敛。      ( 4 )  因为 lim ⁡ n → ∞ s i n   π 2 n 1 2 n = lim ⁡ n → ∞ π ⋅ s i n   π 2 n π 2 n = π ,而 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n 收敛,根据极限形式的比较审敛法可知,该级数收敛。    ( 5 )  当 0 < a ≤ 1 时, 1 1 + a n ≥ 1 2 ,一般项不趋于零,所以 ∑ n = 1 ∞ 1 1 + a n 发散,         当 a > 1 时, 1 1 + a n < 1 a n ,而 ∑ n = 1 ∞ 1 a n 收敛,根据比较审敛法可知该级数收敛。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ 因为\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{2n-1}}{\frac{1}{n}}=\frac{1}{2},而\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}发散,根据极限形式的比较审敛法可知,该级数发散。\\\\ &\ \ (2)\ u_n=\frac{1+n}{1+n^2} \gt \frac{1+n}{n+n^2}=\frac{1}{n},而\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}发散,根据比较审敛法可知,该级数发散。\\\\ &\ \ (3)\ 因为\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{(n+1)(n+4)}}{\frac{1}{n^2}}=1,而\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}收敛,根据极限形式的比较审敛法可知,该级数收敛。\\\\\ &\ \ (4)\ 因为\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{sin\ \frac{\pi}{2^n}}{\frac{1}{2^n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\pi \cdot \frac{sin\ \frac{\pi}{2^n}}{\frac{\pi}{2^n}}=\pi,而\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}收敛,根据极限形式的比较审敛法可知,该级数收敛。\\\\ &\ \ (5)\ 当0 \lt a \le 1时,\frac{1}{1+a^n} \ge \frac{1}{2},一般项不趋于零,所以\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+a^n}发散,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当a \gt 1时,\frac{1}{1+a^n} \lt \frac{1}{a^n},而\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a^n}收敛,根据比较审敛法可知该级数收敛。 & \end{aligned}    (1) 因为nlimn12n11=21,而n=1n1发散,根据极限形式的比较审敛法可知,该级数发散。  (2) un=1+n21+n>n+n21+n=n1,而n=1n1发散,根据比较审敛法可知,该级数发散。  (3) 因为nlimn21(n+1)(n+4)1=1,而n=1n21收敛,根据极限形式的比较审敛法可知,该级数收敛。  (4) 因为nlim2n1sin 2nπ=nlimπ2nπsin 2nπ=π,而n=12n1收敛,根据极限形式的比较审敛法可知,该级数收敛。  (5) 0<a1时,1+an121,一般项不趋于零,所以n=11+an1发散,        a>1时,1+an1<an1,而n=1an1收敛,根据比较审敛法可知该级数收敛。


2.  用比值审敛法判定下列级数的收敛性: \begin{aligned}&2. \ 用比值审敛法判定下列级数的收敛性:&\end{aligned} 2. 用比值审敛法判定下列级数的收敛性:

   ( 1 )    3 1 ⋅ 2 + 3 2 2 ⋅ 2 2 + 3 3 3 ⋅ 2 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + 3 n n ⋅ 2 n + ⋅ ⋅ ⋅ ;     ( 2 )    ∑ n = 1 ∞ n 2 3 n ;    ( 3 )    ∑ n = 1 ∞ 2 n ⋅ n ! n n ;                                                          ( 4 )    ∑ n = 1 ∞ n t a n   π 2 n + 1 . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \frac{3}{1\cdot 2}+\frac{3^2}{2\cdot 2^2}+\frac{3^3}{3\cdot 2^3}+\cdot\cdot\cdot+\frac{3^n}{n\cdot 2^n}+\cdot\cdot\cdot;\ \ \ \ (2)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{3^n};\\\\ &\ \ (3)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n\cdot n!}{n^n};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}ntan\ \frac{\pi}{2^{n+1}}. & \end{aligned}   (1)  123+22232+32333++n2n3n+    (2)  n=13nn2  (3)  n=1nn2nn!                                                         (4)  n=1ntan 2n+1π.

解:

   ( 1 )  因为 lim ⁡ n → ∞ u n + 1 u n = lim ⁡ n → ∞ 3 n + 1 ( n + 1 ) 2 n + 1 3 n n 2 n = lim ⁡ n → ∞ 3 2 ⋅ n n + 1 = 3 2 > 1 ,所以该级数发散。    ( 2 )  因为 lim ⁡ n → ∞ u n + 1 u n = lim ⁡ n → ∞ ( n + 1 ) 2 3 n + 1 n 2 3 n = lim ⁡ n → ∞ 1 3 ⋅ ( n + 1 ) 2 n 2 = 1 3 < 1 ,所以该级数收敛。    ( 3 )  因为 lim ⁡ n → ∞ u n + 1 u n = lim ⁡ n → ∞ 2 n + 1 ( n + 1 ) ! ( n + 1 ) n + 1 2 n n ! n n = lim ⁡ n → ∞ 2 ( n 1 + n ) 2 = 2 e < 1 ,所以该级数收敛。    ( 4 )  因为 lim ⁡ n → ∞ u n + 1 u n = lim ⁡ n → ∞ ( n + 1 ) t a n   π 2 n + 2 n t a n   π 2 n + 1 = lim ⁡ n → ∞ n + 1 n ⋅ π 2 n + 2 π 2 n + 1 = lim ⁡ n → ∞ n + 1 n ⋅ 1 2 = 1 2 < 1 ,所以该级数收敛。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ 因为\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{3^{n+1}}{(n+1)2^{n+1}}}{\frac{3^n}{n2^n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3}{2}\cdot \frac{n}{n+1}=\frac{3}{2} \gt 1,所以该级数发散。\\\\ &\ \ (2)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{(n+1)^2}{3^{n+1}}}{\frac{n^2}{3^n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{3}\cdot \frac{(n+1)^2}{n^2}=\frac{1}{3} \lt 1,所以该级数收敛。\\\\ &\ \ (3)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{2^nn!}{n^n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}2\left(\frac{n}{1+n}\right)^2=\frac{2}{e} \lt 1,所以该级数收敛。\\\\ &\ \ (4)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(n+1)tan\ \frac{\pi}{2^{n+2}}}{ntan\ \frac{\pi}{2^{n+1}}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n+1}{n}\cdot \frac{\frac{\pi}{2^{n+2}}}{\frac{\pi}{2^{n+1}}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n+1}{n}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \lt 1,所以该级数收敛。 & \end{aligned}   (1) 因为nlimunun+1=nlimn2n3n(n+1)2n+13n+1=nlim23n+1n=23>1,所以该级数发散。  (2) 因为nlimunun+1=nlim3nn23n+1(n+1)2=nlim31n2(n+1)2=31<1,所以该级数收敛。  (3) 因为nlimunun+1=nlimnn2nn!(n+1)n+12n+1(n+1)!=nlim2(1+nn)2=e2<1,所以该级数收敛。  (4) 因为nlimunun+1=nlimntan 2n+1π(n+1)tan 2n+2π=nlimnn+12n+1π2n+2π=nlimnn+121=21<1,所以该级数收敛。


3.  用根值审敛法判定下列级数的收敛性: \begin{aligned}&3. \ 用根值审敛法判定下列级数的收敛性:&\end{aligned} 3. 用根值审敛法判定下列级数的收敛性:

   ( 1 )    ∑ n = 1 ∞ ( n 2 n + 1 ) n ;            ( 2 )    ∑ n = 1 ∞ 1 [ l n ( n + 1 ) ] n ;           ( 3 )    ∑ n = 1 ∞ ( n 3 n − 1 ) 2 n − 1 ;    ( 4 )    ∑ n = 1 ∞ ( b a n ) n ,其中 a n → a   ( n → ∞ ) , a n , b , a 均为正数 . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{[ln(n+1)]^n};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{3n-1}\right)^{2n-1};\\\\ &\ \ (4)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{b}{a_n}\right)^n,其中a_n \rightarrow a\ (n \rightarrow \infty),a_n,b,a均为正数. & \end{aligned}   (1)  n=1(2n+1n)n           (2)  n=1[ln(n+1)]n1          (3)  n=1(3n1n)2n1  (4)  n=1(anb)n,其中ana (n)anba均为正数.

解:

   ( 1 )  因为 lim ⁡ n → ∞ u n n = lim ⁡ n → ∞ n 2 n + 1 = 1 2 < 1 ,所以该级数收敛。    ( 2 )  因为 lim ⁡ n → ∞ u n n = lim ⁡ n → ∞ 1 l n ( n + 1 ) = 0 < 1 ,所以该级数收敛。    ( 3 )  因为 lim ⁡ n → ∞ u n n = lim ⁡ n → ∞ ( n 3 n − 1 ) 2 n − 1 n = ( 1 3 ) 2 < 1 ,所以该级数收敛。    ( 4 )  因为 lim ⁡ n → ∞ u n n = lim ⁡ n → ∞ b a n = b a ,当 b < a 时,因为 lim ⁡ n → ∞ u n n < 1 ,所以该级数收敛,         当 b > a 时,因为 lim ⁡ n → ∞ u n n > 1 ,所以该级数发散,当 b = a 时,级数收敛性不确定。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{u_n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2} \lt 1,所以该级数收敛。\\\\ &\ \ (2)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{u_n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{ln(n+1)}=0 \lt 1,所以该级数收敛。\\\\ &\ \ (3)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{u_n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{3n-1}\right)^{\frac{2n-1}{n}}=\left(\frac{1}{3}\right)^2 \lt 1,所以该级数收敛。\\\\ &\ \ (4)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{u_n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{b}{a^n}=\frac{b}{a},当b \lt a时,因为\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{u_n} \lt 1,所以该级数收敛,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当b \gt a时,因为\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{u_n} \gt 1,所以该级数发散,当b=a时,级数收敛性不确定。 & \end{aligned}   (1) 因为nlimnun =nlim2n+1n=21<1,所以该级数收敛。  (2) 因为nlimnun =nlimln(n+1)1=0<1,所以该级数收敛。  (3) 因为nlimnun =nlim(3n1n)n2n1=(31)2<1,所以该级数收敛。  (4) 因为nlimnun =nlimanb=ab,当b<a时,因为nlimnun <1,所以该级数收敛,        b>a时,因为nlimnun >1,所以该级数发散,当b=a时,级数收敛性不确定。


4.  判定下列级数的收敛性: \begin{aligned}&4. \ 判定下列级数的收敛性:&\end{aligned} 4. 判定下列级数的收敛性:

   ( 1 )    3 4 + 2 ( 3 4 ) 2 + 3 ( 3 4 ) 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + n ( 3 4 ) n + ⋅ ⋅ ⋅ ;    ( 2 )    1 4 1 ! + 2 4 2 ! + 3 4 3 ! + ⋅ ⋅ ⋅ + n 4 n ! + ⋅ ⋅ ⋅ ;    ( 3 )    ∑ n = 1 ∞ n + 1 n ( n + 2 ) ;    ( 4 )    ∑ n = 1 ∞ 2 n s i n   π 3 n ;    ( 5 )    2 + 3 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + n + 1 n + ⋅ ⋅ ⋅ ;    ( 6 )    1 a + b + 1 2 a + b + ⋅ ⋅ ⋅ + 1 n a + b + ⋅ ⋅ ⋅   ( a > 0 , b > 0 ) . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \frac{3}{4}+2\left(\frac{3}{4}\right)^2+3\left(\frac{3}{4}\right)^3+\cdot\cdot\cdot+n\left(\frac{3}{4}\right)^n+\cdot\cdot\cdot;\\\\ &\ \ (2)\ \ \frac{1^4}{1!}+\frac{2^4}{2!}+\frac{3^4}{3!}+\cdot\cdot\cdot+\frac{n^4}{n!}+\cdot\cdot\cdot;\\\\ &\ \ (3)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n(n+2)};\\\\ &\ \ (4)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}2^nsin\ \frac{\pi}{3^n};\\\\ &\ \ (5)\ \ \sqrt{2}+\sqrt{\frac{3}{2}}+\cdot\cdot\cdot+\sqrt{\frac{n+1}{n}}+\cdot\cdot\cdot;\\\\ &\ \ (6)\ \ \frac{1}{a+b}+\frac{1}{2a+b}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{na+b}+\cdot\cdot\cdot\ (a \gt 0,b \gt 0). & \end{aligned}   (1)  43+2(43)2+3(43)3++n(43)n+  (2)  1!14+2!24+3!34++n!n4+  (3)  n=1n(n+2)n+1  (4)  n=12nsin 3nπ  (5)  2 +23 ++nn+1 +  (6)  a+b1+2a+b1++na+b1+ (a>0b>0).

解:

   ( 1 )   lim ⁡ n → ∞ u n + 1 n = lim ⁡ n → ∞ n + 1 n ⋅ 3 4 = 3 4 < 1 ,根据比值审敛法可知,该级数收敛。    ( 2 )   lim ⁡ n → ∞ u n + 1 n = lim ⁡ n → ∞ ( n + 1 n ) 4 ⋅ 1 n + 1 = 0 < 1 ,根据比值审敛法可知,该级数收敛。    ( 3 )   lim ⁡ n → ∞ n + 1 n ( n + 2 ) 1 n = 1 ,而级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n 发散,根据极限形式的比较审敛法可知,该级数发散。    ( 4 )  因为 lim ⁡ n → ∞ 2 n s i n   π 3 n ( 2 3 ) n = lim ⁡ n → ∞ π ⋅ s i n   π 3 n π 3 n = π ,而几何级数 ∑ n = 1 ∞ ( 2 3 ) n 收敛,根据极限形式的比较审敛法可知,         该级数收敛。    ( 5 )  因为 lim ⁡ n → ∞ u n = lim ⁡ n → ∞ ( n + 1 n ) 1 2 = 1 ≠ 0 ,所以该级数发散。    ( 6 )  因为 lim ⁡ n → ∞ 1 n a + b 1 n = lim ⁡ n → ∞ 1 a + b n = 1 a ,而级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n 发散,根据极限形式的比较审敛法可知,该级数发散。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n+1}{n}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{4} \lt 1,根据比值审敛法可知,该级数收敛。\\\\ &\ \ (2)\ \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^4\cdot \frac{1}{n+1}=0 \lt 1,根据比值审敛法可知,该级数收敛。\\\\ &\ \ (3)\ \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{n+1}{n(n+2)}}{\frac{1}{n}}=1,而级数\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}发散,根据极限形式的比较审敛法可知,该级数发散。\\\\ &\ \ (4)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2^nsin\ \frac{\pi}{3^n}}{\left(\frac{2}{3}\right)^n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\pi \cdot \frac{sin\ \frac{\pi}{3^n}}{\frac{\pi}{3^n}}=\pi,而几何级数\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n收敛,根据极限形式的比较审敛法可知,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 该级数收敛。\\\\ &\ \ (5)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}u_n=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{\frac{1}{2}}=1\neq 0,所以该级数发散。\\\\ &\ \ (6)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{na+b}}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{a+\frac{b}{n}}=\frac{1}{a},而级数\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}发散,根据极限形式的比较审敛法可知,该级数发散。 & \end{aligned}   (1) nlimnun+1=nlimnn+143=43<1,根据比值审敛法可知,该级数收敛。  (2) nlimnun+1=nlim(nn+1)4n+11=0<1,根据比值审敛法可知,该级数收敛。  (3) nlimn1n(n+2)n+1=1,而级数n=1n1发散,根据极限形式的比较审敛法可知,该级数发散。  (4) 因为nlim(32)n2nsin 3nπ=nlimπ3nπsin 3nπ=π,而几何级数n=1(32)n收敛,根据极限形式的比较审敛法可知,        该级数收敛。  (5) 因为nlimun=nlim(nn+1)21=1=0,所以该级数发散。  (6) 因为nlimn1na+b1=nlima+nb1=a1,而级数n=1n1发散,根据极限形式的比较审敛法可知,该级数发散。


5.  判定下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛? \begin{aligned}&5. \ 判定下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?&\end{aligned} 5. 判定下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?

   ( 1 )    1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + ⋅ ⋅ ⋅ + ( − 1 ) n − 1 n + ⋅ ⋅ ⋅ ;    ( 2 )    ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n 3 n − 1 ;    ( 3 )    1 3 ⋅   1 2 − 1 3 ⋅ 1 2 2 + 1 3 ⋅ 1 2 3 − 1 3 ⋅ 1 2 4 + ⋅ ⋅ ⋅ + ( − 1 ) n − 1 1 3 ⋅ 1 2 n + ⋅ ⋅ ⋅ ;    ( 4 )    1 l n   2 − 1 l n   3 + 1 l n   4 − 1 l n   5 + ⋅ ⋅ ⋅ + ( − 1 ) n − 1 1 l n ( n + 1 ) + ⋅ ⋅ ⋅ ;    ( 5 )    ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 2 n 2 n ! . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ 1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+\cdot\cdot\cdot+\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}+\cdot\cdot\cdot;\\\\ &\ \ (2)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{3^{n-1}};\\\\ &\ \ (3)\ \ \frac{1}{3}\cdot\ \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2^3}-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2^4}+\cdot\cdot\cdot+(-1)^{n-1}\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^n}+\cdot\cdot\cdot;\\\\ &\ \ (4)\ \ \frac{1}{ln\ 2}-\frac{1}{ln\ 3}+\frac{1}{ln\ 4}-\frac{1}{ln\ 5}+\cdot\cdot\cdot+(-1)^{n-1}\frac{1}{ln(n+1)}+\cdot\cdot\cdot;\\\\ &\ \ (5)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2^{n^2}}{n!}. & \end{aligned}   (1)  12 1+3 14 1++n (1)n1+  (2)  n=1(1)n13n1n  (3)  31 2131221+3123131241++(1)n1312n1+  (4)  ln 21ln 31+ln 41ln 51++(1)n1ln(n+1)1+  (5)  n=1(1)n+1n!2n2.

解:

   ( 1 )   u n = ( − 1 ) n − 1 n 1 2 , ∑ n = 1 ∞ ∣ u n ∣ = ∑ n = 1 ∞ 1 n 1 2 是发散的,因为 ∑ n = 1 ∞ u n 是交错级数,满足 ∣ u n ∣ > ∣ u n + 1 ∣ 且 lim ⁡ n → ∞ u n = 0 ,         根据莱布尼茨定理可知,该级数收敛,是条件收敛。    ( 2 )  因为 lim ⁡ n → ∞ ∣ u n + 1 u n ∣ = lim ⁡ n → ∞ 1 3 n + 1 n = 1 3 < 1 ,根据比值审敛法可知,级数 ∑ n = 1 ∞ ∣ u n ∣ 收敛,所以该级数是绝对收敛。    ( 3 )   u n = ( − 1 ) n − 1 3 ⋅ 2 n ,因为 ∑ n = 1 ∞ ∣ u n ∣ = ∑ n = 1 ∞ 1 3 ⋅ 2 n 是等比级数,公比 q = 1 2   ( ∣ q ∣ < 1 ) ,所以该级数收敛,是绝对收敛。    ( 4 )   u n = ( − 1 ) n − 1 l n ( n + 1 ) , ∣ u n ∣ = 1 l n ( n + 1 ) > 1 n + 1 ,而 ∑ n = 1 ∞ 1 n + 1 是发散的,根据比较审敛法可知,级数 ∑ n = 1 ∞ ∣ u n ∣ 发散,         又因为 ∑ n = 1 ∞ u n 是交错级数,满足 ∣ u n ∣ > ∣ u n + 1 ∣ 且 lim ⁡ n → ∞ u n = 0 ,根据莱布尼茨定理可知,该级数收敛,         是条件收敛。    ( 5 )   u n = ( − 1 ) n + 1 2 n 2 n ! , ∣ u n ∣ = 2 n ⋅ 2 n ⋅   ⋅ ⋅ ⋅   ⋅ 2 n 1 ⋅ 2 ⋅   ⋅ ⋅ ⋅   ⋅ n ,因为 2 n > k   ( k = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , n ) ,所以 ∣ u n ∣ > 1 ,         原级数的一般项 u n 当 n → ∞ 时不趋于零,该级数是发散的。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ u_n=\frac{(-1)^{n-1}}{n^{\frac{1}{2}}},\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}是发散的,因为\sum_{n=1}^{\infty}u_n是交错级数,满足|u_n| \gt |u_{n+1}|且\lim_{n\rightarrow \infty}u_n=0,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 根据莱布尼茨定理可知,该级数收敛,是条件收敛。\\\\ &\ \ (2)\ 因为\lim_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{3}\frac{n+1}{n}=\frac{1}{3} \lt 1,根据比值审敛法可知,级数\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|收敛,所以该级数是绝对收敛。\\\\ &\ \ (3)\ u_n=\frac{(-1)^{n-1}}{3\cdot 2^n},因为\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3\cdot 2^n}是等比级数,公比q=\frac{1}{2}\ (|q| \lt 1),所以该级数收敛,是绝对收敛。\\\\ &\ \ (4)\ u_n=\frac{(-1)^{n-1}}{ln(n+1)},|u_n|=\frac{1}{ln(n+1)} \gt \frac{1}{n+1},而\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}是发散的,根据比较审敛法可知,级数\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|发散,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 又因为\sum_{n=1}^{\infty}u_n是交错级数,满足|u_n| \gt |u_{n+1}|且\lim_{n \rightarrow \infty}u_n=0,根据莱布尼茨定理可知,该级数收敛,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 是条件收敛。\\\\ &\ \ (5)\ u_n=\frac{(-1)^{n+1}2^{n^2}}{n!},|u_n|=\frac{2^n\cdot 2^n\cdot\ \cdot\cdot\cdot\ \cdot 2^n}{1\cdot 2\cdot\ \cdot\cdot\cdot\ \cdot n},因为2^n \gt k\ (k=1,2,\cdot\cdot\cdot,n),所以|u_n| \gt 1,\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 原级数的一般项u_n当n \rightarrow \infty时不趋于零,该级数是发散的。 & \end{aligned}   (1) un=n21(1)n1n=1un=n=1n211是发散的,因为n=1un是交错级数,满足un>un+1nlimun=0        根据莱布尼茨定理可知,该级数收敛,是条件收敛。  (2) 因为nlim unun+1 =nlim31nn+1=31<1,根据比值审敛法可知,级数n=1un收敛,所以该级数是绝对收敛。  (3) un=32n(1)n1,因为n=1un=n=132n1是等比级数,公比q=21 (q<1),所以该级数收敛,是绝对收敛。  (4) un=ln(n+1)(1)n1un=ln(n+1)1>n+11,而n=1n+11是发散的,根据比较审敛法可知,级数n=1un发散,        又因为n=1un是交错级数,满足un>un+1nlimun=0,根据莱布尼茨定理可知,该级数收敛,        是条件收敛。  (5) un=n!(1)n+12n2un=12  n2n2n  2n,因为2n>k (k=12n),所以un>1        原级数的一般项unn时不趋于零,该级数是发散的。

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