逆矩阵和伴随矩阵（Inverse matrix and adjoint matrix）

定义

伴随矩阵

记为 。

余子式

A 关于第 i 行第 j 列的余子式（记作 ）是去掉 A 的第 i 行第 j 列之后得到的 (n − 1)×(n − 1) 矩阵的行列式。

代数余子式

A 关于第 i 行第 j 列的代数余子式（记作 ）为 。

余子矩阵

A 的余子矩阵是一个 n*n 的矩阵 C，使得其第 i 行第 j 列的元素是 A 关于第 i 行第 j 列的代数余子式。

伴随矩阵

引入以上的概念后，可以定义：矩阵 A 的伴随矩阵是 A 的余子矩阵的转置矩阵，即 。简言之，伴随矩阵就是把原来矩阵每一行的代数余子式竖着写，即 。

例子

一个 2*2 矩阵 的伴随矩阵是 。

对于 3*3 的矩阵 ，其伴随矩阵是

性质

• 
• 
• 
• 
• 
• 当 n>2 时，
• 如果 A 是可逆，那么

逆矩阵

逆矩阵又称反矩阵。给定一个 n 阶方阵 A，若存在一个 n 阶方阵 B，使得 ，则称 A 是可逆的，逆矩阵记为 。

只有方阵才可能有逆矩阵。若方阵 A 的逆矩阵存在，则称 A 为非奇异方阵或可逆矩阵。

性质

• 
• 
• 
• 
• 

矩阵求逆

伴随矩阵法

如果矩阵 A 可逆，则 。

，求 。

我们先求 A 的行列式。，由于只是 3 阶方阵，我们可以直接计算。

。

再写出代数余子式。

因为对应的伴随矩阵 。

初等变换法

如果矩阵 A 和 B 互逆，则 。可以构造增广矩阵，使用高斯消去法。