遍历性

不知道大家有没有听说过“遍历性”这个概念？

一

十九世纪晚期，物理学家们在研究气体的特性。当时，物理学家已经可以测量出气体分子的集体性质了，例如，一罐气体的体积、压力和温度，但他们却完全不清楚个别的气体分子长得什么样或者有什么样的行为表现。物理学家玻尔兹曼和吉布斯经过研究，提出了这个“遍历性”的假设：假设有一个密闭容器，里面有气体分子在运动，他们不断的相互碰撞，并和容器壁碰撞，每碰撞一次，它们的运动状态就改变一次。如果气体分子足够多，碰撞的时间足够长，那么这个密闭容器中的每一点都会被气体分子经过。那么直观上就可以合理地预期，一个单独的气体分子，随着时间的流逝，将会造访容器中的每一点，或者换个更学术的话语来说就是，气体分子遍历（跑遍）了整个密闭容器。那么物理学家们就可以通过使用一群气体分子的平均特性，来预测单个气体分子的特性了。这就是“遍历性”的由来。

二

维基百科对遍历性的定义如下：遍历性是指统计结果在时间和空间上的统一性，表现为时间均值等于空间均值。

而我个人更喜欢万维刚对于遍历性的解释：

这个道理就是空间上 —— 也就是同一时间一群人的集合 —— 的数学期望，和时间上 —— 也就是一个人连续去很多次 —— 的数学期望是不一样的。在数学上，这就叫“没有遍历性”。如果空间上和时间上的数学期望相同，就叫“有遍历性”。

三

让我们稍微兜远一点，先来弄明白什么是数学期望。在概率论和统计学中，一个随机变量的期望值是试验中每次可能的结果乘以其结果概率的总和，就是所谓的数学期望。

以扔骰子为例，掷一枚六面骰子，肯定会出现一个数字，但是具体出现哪个数字则是由概率决定的。具体情况如下：

六面骰子各数字出现的概率

那么通过数学期望的定义我们就能计算出每次“点数”期望值是3.5

数学期望=每次可能的结果X结果概率的总和

3.5=1×1/6+2×1/6+3×1/6+4×1/6+5×1/6+6×1/6=(1+2+3+4+5+6)×1/6

看不懂也没关系，大概对数学期望这个概念有个印象就好。

四

了解了什么是数学期望后，我们再说回来。那么什么情况才是空间上：同一时间一群人的集合的数学期望，和时间上：一个人连续很多次的数学期望是一样的呢？

举个例子：假设我有一个质地均匀的硬币，它正反面出现的概率都是各50%，扔出正面+1分，扔出反面-1分。

<抛硬币的数学期望值：11/2+(-11/2）=0>**

现在我想知道把这个硬币扔10亿次之后的得分，那么我就有两种方法来进行测试：一个是我自己一个人扔10亿次，记录下每次得分之后进行加减计算（时间上的均值）；另外一个方法就是我找10亿个人，同一时间扔一次硬币，然后记录得分并进行计算（空间上的均值）。如果两个方法最终得到的分数都是0，时间均值等于空间均值。那么我们就可以说空间上：同一时间一群人的集合的数学期望，和时间上：一个人连续很多次的数学期望是一样的。扔质地均匀的硬币具有遍历性。

什么又是没有遍历性呢？

这里我使用万维刚在阐述遍历性时所用的例子：

假设1：昨天晚上有100个人去一家赌场赌博，其中99个人赌完了都没事，只有一个人赌到输光了。那请问，这家赌场是不是一个危险的所在？答案似乎是并不危险的，毕竟输光率只有1%。

假设2：还是这家赌场，我们干脆假定去一次的输光率真的是1%。那请问，如果是同一个人，连续去了这家赌场100次，请问他输光的概率有多大？

为什么说这个例子就是没有遍历性呢，是因为在假设1中，这100个人的数学期望无论是什么，肯定不会是全输光，遇上1%的输光率只是极小的概率；而在假设2中，这一个人的数学期望则是输光，因为随着时间的推移和次数的提升，他必定会遇到那输光的1%。时间上的均值不等于空间上的均值，也就是说空间上：同一时间一群人的集合的数学期望，和时间上：一个人连续很多次的数学期望不一样。所以当时万sir说这个例子没有遍历性。

由于遍历性本身植根于热力学，又是数学中的一个重要分支，其本身比较晦涩难懂，我也仅是依据自己的理解来对遍历性进行解释，必定存在不到位或者有疏漏的地方，希望大家能够在留言区写下你对于遍历性理解、困惑，当然还可以写下你觉得生活中存在遍历性的事情或情况。