(矩阵Part1)基础知识

(矩阵Part1)基础知识

零.基础知识

0.1n维向量空间

$$我们把R^n=\{(x_1,...,x_n)|x_j\in R,j=1,2,....n\}$$

$$\begin{gathered} 中的每一个数组(x_1,...,x_n)称为R^n中的一个点 \\ （又称为n维向量），并且称R^n为n维向量空间 \end{gathered}$$

0.2数域

​ 设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域。常见数域： 复数域C；实数域R；有理数域Q。

0.3线性空间(又称为向量空间)

	向量空间亦称线性空间。它是线性代数的中心内容和基本概念之一。设V是一个非空集合，P是一个数域。若：
	1.在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素α+β，称为α与β的和。
	2.在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法(亦称数量乘法)，即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα，称为k与α的积。
	3.加法与纯量乘法满足以下条件：
		1) α+β=β+α，对任意α，β∈V.
		2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，对任意α，β，γ∈V.
		3) 存在一个元素0∈V，对一切α∈V有α+0=α，元素0称为V的零元.
		4) 对任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β称为α的负元素，记为-α.
		5) 对P中单位元1，有1α=α(α∈V).
		6) 对任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).
		7) 对任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.
		8) 对任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，
	则称V为域P上的一个线性空间，或向量空间。V中元素称为向量，V的零元称为零向量，P称为线性空间的基域.当P是实数域时，V称为实线性空间.当P是复数域时，V称为复线性空间。

0.4定义范数

​ 范数的本质是一个算子，他完成了向量空间与实属的映射.范数，是具有“长度”概念的函数。范数是一个函数，是向量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。

定义半范数（半范数可以为非零的向量赋予零长度。）

定义范数

0.5常见范数

0.6内积与欧氏空间

$$\begin{gathered} 设x=\{x_1,...,x_n\},y=\{y_1,...,y_n\}\in R^n,则x与y的内积定义为 \\ xy=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i\in R \end{gathered}$$

按照如此定义n维向量空间的内积，则向量内积满足如下性质：

​
$$R^n中的元素称为n维向量；设向量\alpha =(a_1,a_2,...,a_n)，称{\alpha }_i为\alpha 的第i个分量。$$

$$\begin{gathered} 则定义了这样内积运算的n维向量所构成的R^n空间，称为欧几里得空间或者欧氏空间。 \\ 定义向量x\in R^n的模维：||x||=\sqrt{xx}=\sum _{i=1}^n{x}_i^2 \end{gathered}$$

定义了欧氏空间中的模后，定义欧氏空间中任意两点间的距离：
$$\begin{gathered} 定义了欧氏空间中的模后，定义欧氏空间中任意两点间的欧式距离(又称距离)： \\ |x-y|=||x-y||=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2} \end{gathered}$$

0.7定义向量的内积（点积）和外积（叉积）

内积的本质是向量投影。

一.矩阵与行列式基本知识

1.1矩阵定义

​ 由s·m个数排成s行、m列的一张表，被称为一个s×m的矩阵。定义第i行、第j列交叉位置上的元素称为矩阵的(i，j)元。一个s×m的矩阵可以有如下几种写法:
$$A_{s\times m}=A_{(i;j)}=(a_{ij}{)}_{s\times m}$$

1.2矩阵的基本运算

1.2.1矩阵的加法

1.2.2矩阵的数乘

1.2.3矩阵的初等行变换

我们称如下针对矩阵的操作为矩阵的初行等变换：
    1.把一行的倍数加在另一行上；
    2.互换两行的位置；
    3.用一个非零数乘以某一行

1.3行列式

1.3.1定义行列式

​ 行列式本质上是个算子，它是方阵到数值的映射。

1.3.2定义常见的行列式

1.3.3子式、余子式与代数余子式

​ n阶行列式|A|中任意取k行k列(1≤k≤n)，位于这些行和列交叉处的k*k个元素按照原来的排法构成的k阶行列式称为|A|的一个k阶子式。

​
$$\begin{gathered} 如果取定第i_1,i_2,...,i_k行(i_1<i_2<...<i_k)，取定j_1,j_2,...,j_k列(j_1<j_2<...<j_k) \\ 则所得的k阶子式为A\left(\begin{array}{cccc}{i}_1& i_2& ...& i_k\\ j_1& j_2& ...& j_k\end{array}\right) \\ 划去子式所在的第i_1,i_2,...,i_k行，j_1,j_2,...,j_k列，剩下的元素按照原来的排法组成的(n-k)阶行列式 \\ 称为上述子式的余子式。 \end{gathered}$$
​ n阶行列式中，划去第i行第j列，剩下的元素按照原来的次序组成一个n-1阶的行列式称为(i,j)元的余子式，记作：
$$M_{ij}$$
​ 如果令：
$$\begin{gathered} A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij} \\ 则称A_{ij}是(i,j)元的代数余子式。 \end{gathered}$$

1.3.4行列式的Laplace Expansion定义

​ n阶行列式|A|，等于它的第i行元素与其对应的代数余子式的乘积之和，常记作det(A)，即
$$det(A)=|A|=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+...+a_{in}{A}_{in}=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}$$

1.3.5站在外积的角度探索行列式的本质

由定义可知：
$$\begin{gathered} A=(a,b),B=(c,d)则A\times B=|A||B|\ast sin\theta \\ 可见刚好是上图r_1\ast r_2\ast sin\theta =r_1\ast h，即其本质维平行四边形面积。 \\ 以此类推，三阶行列式即以上阶数，代表的是n维向量所张成空间的体机。 \end{gathered}$$

1.4行列式的性质以及几何证明

下面给出行列式的性质：
1.行列式行列互换，行列式值不变；（也做：矩阵A转置的行列式等于A的行列式）
2.行列式一行的公因子可以提出去；
3.行列式中若某一行是两个数组的和，那么此行列式等于两个行列式的和，这两个行列式的这一行分别是第一个数组和第二个数组，其余行和原来的行列式的各行相同；
4.两行互换，行列式反号；
5.两行相同，行列式值为0；
6.把行列式某一行的倍数加在另一行上，行列式值不变；
7.n阶行列式|A|的第i行元素与第k行（k≠i）相应元素的代数余子式的乘积之和为0。
8.上述性质将“行”换成“列”后仍然适用。

给出参考：【线性代数的几何意义】行列式的几何意义 - AndyJee - 博客园 (cnblogs.com)

给出参考：矩阵的转置的意义是什么？ - 知乎 (zhihu.com)

1.5特殊的行列式

给出参考：几种特殊类型行列式及其计算 - 哔哩哔哩 (bilibili.com)

二.线性方程组

2.1n元线性方程组及相关基本定义

​ 含有n个未知量的线性方程组称为n元线性方程组，他的一般形式为：

$$\begin{gathered} 其中,a_{11},a_{12},...,a_{sn}式系数 \\ {b}_1,b_2,...,b_s式常数，常数项一般写在等号右边 \end{gathered}$$

2.1.1解与解集

​
$$\begin{gathered} 对于线性方程组，如果x_1,x_2,..,x_n分别用数c_1,c_2,...,c_n带入后，每个方程组都变成恒等式，则称 \\ n元有序实数组(c_1,c_2,...,c_n)式原线性方程组的一个解，方程组所有的解称为方程组的解集。 \end{gathered}$$

2.1.2线性方程组的求解过程

给出参考：(18条消息) n元线性方程组解的情况及判别准则_hflag168的博客-CSDN博客

2.1.3增广矩阵、系数矩阵、阶梯型矩阵与简化阶梯型矩阵

​ 在求解过程中引入如下四种概念：

2.2线性方程组解的

2.2.1线性方程组解的情况

线性方程组解的情况主要分成如下两种：
1.无解
2.有解
	2.1有唯一解
	2.2有无穷多解

2.2.2定义线性方程组的主变量和自由未知量

​ 针对2.1.3节所述的线性方程组，最后化简为一个简化阶梯型矩阵表示的线性方程组是：
$$\begin{gathered} \{\begin{array}{c}{x}_1-x_2=2\\ x_3=-1\end{array} \\ 显然这个方程组有无穷多个解，这无穷多个解可以用下列表达式表示 \\ \{\begin{array}{c}{x}_1=x_2+2\\ x_3=-1\end{array} \\ 这个表达式被称为原线性方程组的一般解， \\ 其中以主元为系数的未知量x_1,x_3被称为主变量，x_2被称为自由未知量 \end{gathered}$$

2.3n元齐次线性方程组

$$\begin{gathered} 如果n元线性方程组中的每一个方程的常数项都是0，则称这样的方程组为n元齐次线性方程组: \\ \{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...+a_{2n}{x}_n=0\\ ..............\\ a_{s1}{x}_1+a_{s2}{x}_2+...+a_{sn}{x}_n=0\end{array} \\ 显然(0,0,...,0)是齐次线性方程组的一个解，称为零解，任何一个齐次线性方程组都有零解， \\ 如果一个齐次线性方程组除了零解之外还有其他解，则称其他解为非零解。 \end{gathered}$$

它有如下性质：

1.如果一个齐次线性方程组有非零解，那么他一定有无穷多解；
2.n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是：他的系数矩阵经过初等行变换成的阶梯形矩阵中，非零行的个数r

2.4从线性表出的角度审视线性方程组

则：

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...+a_{2n}{x}_n=b_2\\ ..............\\ a_{s1}{x}_1+a_{s2}{x}_2+...+a_{sn}{x}_n=b_s\end{array} \\ 上述方程组有解，等价于\beta 可以由{\alpha }_1、...、{\alpha }_n线性表出 \\ 其中{\alpha }_1\left(\begin{array}{c}{\alpha }_{11}\\ .\\ .\\ .\\ {\alpha }_{s1}\end{array}\right)...{\alpha }_n\left(\begin{array}{c}{\alpha }_{1n}\\ .\\ .\\ .\\ {\alpha }_{sn}\end{array}\right)、\beta \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ .\\ .\\ .\\ b_s\end{array}\right) \\ \beta =x_1\ast {\alpha }_1+....+x_n\ast {\alpha }_n \end{gathered}$$

3.由线性方程组引出线性相关与线性无关

3.1线性相关与线性无关定义

3.2线性关系->齐次线性方程组->行列式

​ 结合第2.4节内容，从齐次线性方程组的角度看

所以判断向量组是否线性相关，可以直接判断其齐次线性方程组是否有非零解。

再结合2.4节内容，即齐次线性方程组解的判断条件可知：
$$\begin{gathered} （1）上述向量组{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_s线性相关等价于n个n维列向量组成的矩阵的行列式等于0. \\ （2）上述向量组{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_s线性无关等价于n个n维列向量组成的矩阵的行列式非0. \end{gathered}$$

3.3向量组等价

3.4极大线性无关组

3.5基本性质

1.仍然需要注意，矩阵本质上就是向量组！！
2.如果一个向量组的一个部分组线性相关，则整个向量组也线性相关。如果向量组线性无关，则他的任何一个部分组也线性无关。
3.如果一个向量组线性无关，则他的延伸组也线性无关。如果一个向量组线性相关，则他的缩短组也线性相关。
4.向量组与他的极大线性无关组等价。
5.向量组的任意两个极大线性无关组等价。
6.若向量组β1,β2,...,βr可以由向量组α1,α2,...αn线性表出。如果r>s，则向量组β1,β2,...,βr线性相关。
7.若向量组β1,β2,...,βr可以由向量组α1,α2,...αn线性表出。如果向量组β1,β2,...,βr线性无关，则r≤s.
8.等价的相信线性无关向量组所含的向量个数相同。
9.向量组的任意两个极大线性无关组所含向量个数相等。

4.线性无关与矩阵的秩

在进行后面说明之前，仍然指出矩阵本质上就是向量组！！

4.1向量组的秩

​ 若向量组A可以由向量组B线性表出，则rank(A)≤rank(B)，显然等价向量组具有相同的秩。

4.2矩阵的秩

4.3矩阵秩的相关性质

1.矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩
2.矩阵的初等行变换不改变矩阵向量组的线性相关性，从而不改变矩阵的列秩
	说明：　设α1，α2，…，αn是n个m维列向量，则它们的线性相关性等价于线性方程组AX=0(其中A=(α1，α2，…，αn)，X=(x1，x2，…，xn)T)是否有非零解，即α1，α2，…，αn线性相关等价于AX=0有非零解，α1，α2，…，αn线性无关等价于AX=0只有零解。而对A进行三种行初等变换分别相当于对线性方程组中的方程进行：两个方程交换位置，对一个方程乘一个非零常数，将一个方程的常数倍对应加到另一个方程上。显然进行三种变换后所得方程组与原方程组同解，若设所得方程组为BX=0，则B即为对A进行行初等变换后所得矩阵。B的列向量的线性相关性与BX=0是否有解等价，也就是与AX=0是否有解等价，即与A的列向量的线性相关性等价!
3.任意矩阵的行秩等于列秩。
	https://www.zhihu.com/question/25524378
4.矩阵A经过初等行变换转化为阶梯型矩阵J，则A的秩等于J的非零行的个数。设J的主元所在的列是第j1，j2,...,jr列，则A的第j1，j2,...,jr列构成A的列向量组的一个极大线性无关组。
5.矩阵的初等行变换和初等列变换都不改变矩阵的秩。
6.任意非零矩阵的秩等于它的非零子式的最高结束。
7.一个n级矩阵A的秩等于n，当且仅当|A|不等于0.如果一个仿真的秩等于它的级数，那么这个方帧维满秩矩阵。

4.4秩与线性方程组解的关系

5.线性方程组解集结构

5.1齐次线性方程组的解集结构

5.5.1定义线性子空间

5.5.2定义解向量与解集

$$\begin{gathered} 数域K上的n元齐次线性方程组 \\ {x}_1{a}_1+x_2{a}_2+...+x_n{a}_n=0 \\ 的解是一个K上的n元有序数组，换句话来说，他是K^n上的一个向量， \\ 故称为方程组的一个解向量，所有解向量构成的集合称为解集。 \end{gathered}$$

​ 从5.5.1描述可知，W是K^n上的一个子空间。

5.5.3定义基础解系与通解

5.5.4性质

​
$$\begin{gathered} 数域K上的n元齐次线性方程组 \\ {x}_1{a}_1+x_2{a}_2+...+x_n{a}_n=0 \\ 的系数矩阵A的秩小于未知量个数n时，她一定有基础解系，并且他的 \\ 每一个基础解系所含的解向量个数为n-rank(A) \end{gathered}$$

5.5.5例题

给出参考:快速学会齐次线性方程组的解法——基础解系，通解一并解决！_哔哩哔哩_bilibili

5.2非齐次线性方程组的解集结构

5.2.1由齐次线性方程组与非齐次线性方程组解的关系

5.2.2例题

给出参考:§4.2 非齐次线性方程组 (edu-edu.com.cn)

6.基与维数

6.1定义基与标准基

1.齐次线性方程组的一个基础解系就是解空间的一个基。

2.定义正交基

给出参考:正交基 - 简书 (jianshu.com)

3.定义标准正交基

给出参考:标准正交基_百度百科 (baidu.com)

4.任意两个基所含的向量个数相等，基的本质就是极大线性无关组。

6.2定义维数

$$\begin{gathered} U是K^n的一个非零子空间，U的一个基所含向量的个数为U的维数，记作dimU。 \\ 规定零子空间的维数为0。显然dim{K}^n=n \end{gathered}$$

6.3坐标

6.4向量组的生成子空间

$$\begin{gathered} 设a_1，a_2，...，a_s是K^n的一个向量组，令 \\ U=\{k_1{a}_1+k_2{a}_2+...+k_s{a}_s|k_1,k_2,...,k_s\in K\} \\ 显然U是K^n的一个子空间，我们把U称为a_1，a_2，...，a_s的生成子空间 \\ 记作<a_1，a_2，...，a_s> \end{gathered}$$

1.向量组的秩等于其解空间的维数。
2.矩阵的行空间维数等于列空间维数。