扩展欧几里得算法(exgcd)

欧几里得算法

首先我们来回顾一下求解2个数的最大公约数(gcd,Greatest Common Divisor)的欧几里得算法:
这个算法的核心是$gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$,即$a$和$b$的公约数等于$b$和$amodb$的公约数.
至于为什么,oi-wiki上有,我们就不证了,但为了理解这个公式,我们举个例子
$$\begin{gathered} gcd(3,5)=gcd(5,3)=gcd(2,3)=gcd(3,2)= \\ gcd(1,2)=gcd(2,1)=gcd(1,1)=gcd(0,1)=gcd(1,0) \end{gathered}$$
然后你会发现,我们将要用1去模0了,但这显然是没有意义的*(a模b的定义为a除以b的余数).并且,1和0是没有公约数的(0没有任何约数),那么我们的程序好像就无法继续进行了.我们又观察到,5和3因为互质,最大公约数是1,恰好是当b=0的时候a的值.那么,其他的数进行gcd操作也会有这样的性质吗?

再来个例子
$$gcd(4,2)=gcd(0,2)=gcd(2,0)$$
好像确实是这样的!我们只需输出当b等于0时a的值即可!

实际上,当b=0时,就代表着前一步的a%b==0,也就是$b|a$,那么我们的最大公约数显然就是b(下一步的a)了.

*如果你编译运行1%0这段代码,编译器报错[Warning] division by zero [-Wdiv-by-zero],程序RE

这样就可以写出代码:

int gcd(int a,int b)
{
	if(b==0) return a;
	return gcd(b,a%b); 
}

在进入下一部分前,我们先来分析一下这个算法的复杂度.细心的读者已经发现了,上面的例子中有些操作是无效的,他们仅仅交换了a和b的位置,但对于程序运行来说,这是必需的.但他们的数量显然小于等于有效操作的数量,对于时间复杂度的分析来说可以略去.

回顾到取模这个运算,在正数意义下它的代码可以写成这样(你是否知道负数的取模运算?可以参考这篇文章):

while(a>b) a-=b//=a%b

实际上,G++中实现的取模不是这么简单.具体来说,若$a=qb+r$,则$amodb=r$(例:7%(-3)=1 -7%(-3)=-1 -7%3=-1).并且,G++的原则是使商尽可能大
有点扯远了,最重要的是知道上面在正数意义下的代码!我们再来举几个例感性理解一下复杂度
不用感性理解了,请读者们自己思考吧,我直接说结论好了,gcd中的有效操作至少能让a减半.

那么,gcd的复杂度就为$logn$

补充知识:

• 多个数的最大公约数/最小公倍数求法:每次取出2个数求得最大公约数/最小公倍数后将最大公约数/最小公倍数放回去
• 算数基本定理(用于求lcm,Least Common Multiple,最小公倍数):$gcd(a,b)\times lcm(a,b)=a\times b$

扩展欧几里德算法(exgcd)

恶心gcd

扩展欧几里得定理（Extended Euclidean algorithm, EXGCD），常用于求$ax+by=gcd(a,b)$的一组可行解。

P.S 原来extra指额外,extend才是扩展…
定理:$x_1=y_2,y_1=x_2-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor$
证明(摘自oi-wiki,但手写一遍才能更好的弄懂):

设
$a{x}_1+b{y}_1=\gcd (a,b)$
$b{x}_2+(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)y_2=\gcd (b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$
由欧几里得定理可知： $\gcd (a,b)=\gcd (b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$
所以 $a{x}_1+b{y}_1=b{x}_2+(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)y_2$
又因为 $a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b=a-(\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b)$
所以 $a{x}_1+b{y}_1=b{x}_2+(a-(\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b))y_2$
$a{x}_1+b{y}_1=a{y}_2+b{x}_2-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b{y}_2=a{y}_2+b(x_2-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_2)$
因为 $a=a,b=b$ ，所以 $x_1=y_2,y_1=x_2-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_2$

证明中比较重要的就是这个式子(其实就是取模运算的数学表达式):
$$amodb=a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b$$
知道了$x$和$y$的递归表达式,我们就可以进行程序设计了.

既然是递归,就一定有最底层的$x$和$y$能够让我们轻易求出值,回到基础gcd算法的递归结束位置,$a_{now}=gcd(a,b),b_{now}=0$,带入$ax+by=gcd(a,b)$,得$gcd(a,b)\times x+0\times y=gcd(a,b)$

那么显然$x$取1,$y$取任意值即可(我们选择取0).

考虑到在源代码上修改,我们仍然返回gcd的值,在过程中计算x和y即可.

代码:

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	int ret=exgcd(b,a%b,x,y);
	int temp=x;
	x=y;
	y=temp-(a/b)*y;
	return ret; 
}