二分图

注意：借鉴了很多其他博客的内容，还请见谅。

一. 二分图基础：

1. 什么是二分图：

        首先它的结构是一个G=(V,E)的无向图。它的特点是可以二分为两个互不相交的集合。这里的关键是互不相交是怎么定义的：如果有一条边e1，它的两个顶点分别为v1，v2，那么v1和v2就是相交的，就不能位于同一集合内。

例图1

        比如说上面的例图1中，1和3之间有一条边，所以1，3是相交的；2和3之间有一条边，所以2，3是相交的。1，3相交，所以1，3不能位于同一个集合，2，3也不能位于同一集合，但是1，2可以位于同一集合。所以可以将点集V划分为{1，2}和{3}这两个集合。可以将G=(V,E)中的点集V分成两个集合的图，就是二分图。

2. 二分图的性质：

        当且仅当无向图G的每一个环中，点的数量都是偶数时，G才是一个二分图。如果无环（考虑连通的情况），可以理解成每个环中，点的数量为0，也是偶数，所以也是一个二分图。这种情况可以画一画图，很容易把它画为二分图的常见形式。

例图2

例图3

        直观理解：例图2是二分图的常见表现形式，可以明显地看出，点集V可以划分为{1，2，5}和{3，4，6}两个集合，可以将这个图展开成例图3的形式。图中有3个环，{1，2，3，6}，{2，4，5，6}，{1，2，3，4，5，6}这三个集合可以分别构成一个环。这个时候其实可以有一个直觉，每一个环中，各有n/2的点来自二分图的二分集合。接下来进行验证。

        首先证明如果环中点的数量为奇数，那么一定不可能是二分图，请看下图：

例图4

        从1开始，假设图中有一部分是上面图中的环，并且假设这个图是一个二分图，二分集合分别为集合A，B。我们的目标是证明这种情况是不存在的。不妨设1属于集合A，因为1与2有边相连，所以2必然属于集合B；同理，因为3与2相连，所以3必然是属于集合A的，4属于集合B，5属于集合A，但是5与1有一条边直接相连，它们不能都属于集合A，因此这种情况必然是不成立的。说到这里，相信环中包含奇数个点时，必然不是二分图，这个证明已不再复杂。

        如果每个环中点的数量都为偶数，那么一定是二分图。关于这个证明，我暂时还没有了解到很严格的证明方法，因为证明不成立，只要找到合理的反例即可，但要是严谨的证明成立，这个可能需要十分完整的推理过程，这一点我暂时无法做到。不过可以参考例图4的想法，如果环中点的数量为偶数，那么必然集合内的点不会存在相交的冲突，因此只是一个环的时候，是可以做到的。如果两个环或者多个环共用了几个点，如果画图会看出，共用的情况，也不会带来任何相交的冲突。

3. 二分图的判定：

        直观想法：判断图中的每一个环，环中点的数量是奇数还是偶数，一旦发现奇数，结束过程，不是二分图，正常完成，则是二分图。

       要按照这个想法进行实现的话，要先去考虑，如果找到一个环。这一点并不难，无论是bfs还是dfs，都可以通过标记已访问过的点，来判断是否有环。但是这个思路有一个问题，比如说当前点cur，发现它的下一个点next已经被标记访问过了，这个时候可以判断有环，但是接下来需要判断这个环中点的数量是奇数还是偶数，这一点怎么实现？

        这个时候顺着这个思路往下走，可能会想，要做到这一点的话，我需要保存这个环上经过的所有点。好的，要实现这一点，通过dfs或者bfs可能还无法实现，还需要借鉴一下tarjan的思路，引入一个栈来存放节点。到此，这个问题已经很复杂了，根据我的一些浅薄的经验，这样来直接解决环的问题，往往会很麻烦。最重要的是，这通常不是比较好的思路。先接着上面的思路来分析，上面引入了tarjan来直接处理环，还没有解决所有问题。因为环还有可能面对两个小环组合成大环，或者大环套小环的问题，比如说下图所示：

例图5

例图6

        直接问题就是，如果出现环和环之间有共同点的情况该怎么办。这里提供一种思路，如果只是判断点的数量是奇数还是偶数，其实可以挑直接环来处理（这一点在tarjan中可以做到）。直接环就是说，比如说例图5，按照tarjan的一些模板算法，会把两个环合并成一个大环来处理，因为它们是连通的。但是直接环的话，就是发现了左边有一个环，就先处理左边这个环，然后继续处理，又发现了右边有了环，再处理右边的环。不必同时考虑大环和小环，只要考虑小环就可以了。

       这种做法的原因是，如果小环全都满足偶数个点，那么小环合并成的大环必然也满足。如果大环有奇数个点，那么必然存在小环有奇数个点。（比如例图6，大环9个点，但它内部有两个小环，一个4个点，另一个5个点）所以理论上这种方案是可以的。

        最后说一下比较好的，也应该是比较常规的算法，应该是dfs/bfs的染色思路。因为这里的目标只是判断环中点的数量是奇数还是偶数，那么可以提供两种颜色比如1和2，当前点是1的话，那么和它有直接边相连的点，遍历到时给它的颜色就是2。接下来，一定发现当前点的下一个节点已经访问过了，就看它的颜色，比如当前点是1，如果下一个节点已经访问过，并且也是1，那么说明这个环中有奇数个节点，反之，则为偶数个节点。

        最后一步，严谨的算法，需要考虑尽可能地详细。虽然这个算法看起来很不错了，但是我们仍然需要想一想，这个算法是不是可以处理到图中所有的环。如果这样dfs/bfs无法处理到图中所有的环，那很可能因为漏判，而导致不能用。

        对于例图5中的情况，这里dfs/bfs的时候，很容易可以分析出，两个环互相是不会有影响的。关键是例图6的情况，用 dfs/bfs是可以保证，假如上面的小环处理完之后，会返回处理下面的小环的（这里的解释有点混乱）。总之这里的含义就是，不会因为处理了一部分小环，而导致其他部分的小环没有处理到的，用dfs/bfs是可以保证，处理完一部分后，回溯到之前的节点，再处理其他所有可能的环。这里其实也可以理解为，dfs/bfs会把大环拆成小环来一个一个地处理，只不过没有像tarjan那样，保存了具体环的信息。dfs/bfs不保存环信息，直接利用颜色标记法来判断，无疑效率要高很多。

关于二分图的更多内容，会在之后做更多详细的总结。这是我的第一篇博客，希望可以有人喜欢，也希望之后自己积累更多，总结可以越来越清晰。