二重积分问题、计算法则与注意事项汇总

提示:本文的适用对象为已修过《微积分A1》的非数学系学生,文中题型方法为个人总结,为个人复习使用。部分理解虽然不太严谨,但对于解题的实用性较强。若有疏漏or错误,欢迎批评指正。


摘要

本文主要介绍的内容有:

1、重积分的概念与本质

2、重积分的几何意义与运算方法

3、利用重积分的性质解题(题型汇总)

!!!重点汇总重积分计算的相关题型,并为每一种题型提供例题与明晰的解题思路


一、重积分是什么?

1、重积分的概念

  我们都知道,一元函数定积分的概念构建,本质上是”带点分割——取模计算黎曼和极限——验证黎曼和极限与取点的任意性无关“,重积分的概念也可由类似思路推得,我们以二重积分为例,主要解决以下几个问题:

1、在R^{2}上如何进行分割?

2、如何取模最理想?

3、如何验证黎曼和极限与分割时取点的任意性无关?

在不规则的R^{2}区域内,这些问题很难找到答案,因此,我们将积分区域首先限制在平面上的一个矩形域中,在这个矩形域中,可以将其分割成呈网格状的一个又一个小矩形,随后取所有矩形对角线长度的最大值作为分割的模,然后即可求出黎曼和的极限。若此黎曼和式的极限存在,且该极限值与分割的任意性、取点的任意性无关,则称此函数在这个矩形域内可积。下面我们就来探究一下,什么样的二元函数在该矩形域内可积?

  我们略过与达布上和等的有关推导,可得以下两个结论:

1、若二元函数在矩形域内连续,则其一定可积

2、若二元函数在矩形域上的间断点构成的集合是零面积集,则可积(在通常情况下,可理解为“有限个间断点”)

得到了二元函数在矩形域下的可积条件,我们再将其推广到任意区域中时,我们可以写出

D\subset I

\iint_{D}^{}f(x,y)=\left\{\begin{matrix} f(x,y) & \(x,y)\in D\\ 0 & (x,y)\in I/D \end{matrix}\right.

因此我们可得出:

1、若二元函数连续,则其一定可积

2、若二元函数的间断点构成的集合是零面积集,且D的边界也是零面积集,则可积

因此,对于重积分的概念与本质,实质上就是对无限多分割的求和与累积。

二、重积分的性质

1.几何意义

  • 对于二重积分而言,\iint_{D}^{}f(x,y)dxdy是以D区域为底,f(x,y)的值为高求得的立方体的体积,若f(x,y)=1,则\iint_{D}^{}dxdy表示D区域的面积,dxdy被称为面积元,表示无穷小的一块面积。

  • 对于三重积分而言,\iiint_{D}^{}f(x,y)dxdydz是以D区域为体积, f(x,y)的值为密度求得的立方体的质量, 若f(x,y)=1,则\iiint_{D}^{}dxdydz表示D区域的面积,dxdydz被称为体积元,表示无穷小的一块体积。

2.运算方法

  • 对于二重积分的基本运算方法,我们都已耳熟能详,不过就是累次积分法和变量代换法两种,或是二者的结合,对于使用这两种解法的初级题目,我给出以下解题步骤:

1、观察积分区域与被积函数形式,确定是否变量代换。若积分区域为圆形等其他规则几何图形,建议用变量代换,若无,考虑累次积分。

2、画出积分区域,确定x,y的范围。(确定范围时要尤其注意,先确定容易确定的变量范围,然后”后积“此变量,在此之后将该变量取一个常值取截原积分区域,可得另一变量的范围)

3、累次积分,由难到易,变成一元函数积分问题。

  • 对于三重积分的基本运算方法,与二重积分类似,

三、重积分的计算相关题型汇总(个人曾经出错的地方)

1、二重积分的运算方法

关于累次积分法


1、一些原本不可积的对象,换序后变得可积(最好在过程中表示出来)

例:计算二次积分\int_{0}^{1}dx\int_{x}^{1} e^{-y^{2}} dy

不定积分\int e ^{-t^{2}}dt不是初等函数,因此按照本题所给的顺序,这个积分是算不出来的。记:

f(x,y)=\left\{\begin{matrix} e^{-y^{2}} ,& x\in [0,1],y\in [x,1]\\ 0,& x\in[0,1],y\in[0,x] \end{matrix}\right.

显然,f 在矩形域上的不连续点都在直线y=x,x\in[0,1]上,这是一个零面积集,所以此函数对于x\in [0,1],关于y在[0,1]上可积;同理,该函数对于y\in [0,1],关于x在[0.1]上可积。所以可进行正常换序。(注意能够正常换序的条件!!!

下换序过程略。

2、累次积分时进行区域分割的情况汇总

  1. x,y的取值范围需要经过分割后才能完整表示整个区域
  2. 被积函数带有绝对值/被积函数是分段函数
  3. 在sinx等函数中,一定范围内积分上下限的大小关系发生了变化,为了保持二重积分化为累次积分时积分下限要小于积分上限的原则,需要进行分段讨论

3、对于“体”的区域分割(由于自己画图时做出体与平面相交区域是十分困难的,所以我们提出单独讲解)

例题:求由平面z=x+1,z=0,x^{2}+y^{2}=4围成的两个空间区域的体积。

tip1:若空间想象能力弱,画图困难,可以考虑利用不等式列出所有可能情况,再筛选出合理情况

如:在x^{2}+y^{2}\leqslant 4时,有两种可能,0\leqslant z\leqslant x+1x+1\leqslant z\leqslant 0这两种情况均成立,于是找到了x取值范围中的两个区域,再用累次积分法逐一求解即可

注意:若计算这两个空间区域的体积,应该先将两个区域分别求积分,取绝对值后,再进行相加

tip2:让z=0,将所有函数向xoy平面上做投影,通过投影区域确定x和y的范围与累次积分的顺序

4、若x,y的取值范围无关(如矩形域)且x,y的被积函数可以完全拆开成为只有x的形式与只有y的形式,则二重积分可以写成两个普通的一元函数积分乘积的形式。

关于变量代换法


1、关于从dxdy\rightarrow \begin{vmatrix} \frac{D(x,y)}{D(u,v)} \end{vmatrix}dudv要注意

1、若变量代换是关于u,v到x,y的函数,可选择先求出\frac{D(u,v)}{D(x,y)},再取倒数以简化运算

2、注意求出行列式之后要取绝对值!!!

2、对于极坐标的变量代换,自己发现的小规律

1、一般先固定\theta在某两个特定角度中,再导出\rho\theta有关的关系式;

2、对于定义域为圆的二重积分,我发现:若过圆心,则\rho的范围确定,与\theta无关;若不过圆心,则\rho的范围,与\theta有关,且可用题中不等式表示出来。(如果单纯x=\rho cos\theta ,y=\rho sin\theta的话)

3、注意:dxdy=\rho d\rho d\theta

 3、求闭曲线围成区域的面积

step1:求出闭曲线的极坐标方程,确定\theta的范围(闭曲线的话就是从0到2pi)。然后确定\rho的范围(用题中方程式表示)

step2:直接对区域进行二重积分即可

4、求闭曲面围成区域的体积

(如求椭球面)

step1:写出上半曲面的方程,将z与x,y分离(显式表示)

step2:将z赋值为0,对应了此曲面在xy平面上的投影

step3:利用关于坐标轴的对称性,将其化简为x,y两轴正半轴上的部分

step4:得到体积公式V=8\iint_{D}^{}zdS,运用变量代换法求解

#关于椭圆面(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1)上x和y的坐标变换

x=a\rho cos\theta ,y=b\rho sin\theta

5、对于通过其他变量代换的:关注题目中有规律的结构;最好代换后新的自变量区域为矩形;不要忘记成一个Jacobi矩阵。

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