二重积分问题、计算法则与注意事项汇总
提示：本文的适用对象为已修过《微积分A1》的非数学系学生，文中题型方法为个人总结，为个人复习使用。部分理解虽然不太严谨，但对于解题的实用性较强。若有疏漏or错误，欢迎批评指正。
摘要
本文主要介绍的内容有：
1、重积分的概念与本质
2、重积分的几何意义与运算方法
3、利用重积分的性质解题（题型汇总）
！！！重点汇总重积分计算的相关题型，并为每一种题型提供例题与明晰的解题思路
一、重积分是什么？
1、重积分的概念
我们都知道，一元函数定积分的概念构建，本质上是”带点分割——取模计算黎曼和极限——验证黎曼和极限与取点的任意性无关“，重积分的概念也可由类似思路推得，我们以二重积分为例，主要解决以下几个问题：
1、在
上如何进行分割？
2、如何取模最理想？
3、如何验证黎曼和极限与分割时取点的任意性无关？
在不规则的区域内，这些问题很难找到答案，因此，我们将积分区域首先限制在平面上的一个矩形域中，在这个矩形域中，可以将其分割成呈网格状的一个又一个小矩形，随后取所有矩形对角线长度的最大值作为分割的模，然后即可求出黎曼和的极限。若此黎曼和式的极限存在，且该极限值与分割的任意性、取点的任意性无关，则称此函数在这个矩形域内可积。下面我们就来探究一下，什么样的二元函数在该矩形域内可积？
我们略过与达布上和等的有关推导，可得以下两个结论：
1、若二元函数在矩形域内连续，则其一定可积
2、若二元函数在矩形域上的间断点构成的集合是零面积集，则可积（在通常情况下，可理解为“有限个间断点”）
得到了二元函数在矩形域下的可积条件，我们再将其推广到任意区域中时，我们可以写出
因此我们可得出：
1、若二元函数连续，则其一定可积
2、若二元函数的间断点构成的集合是零面积集，且D的边界也是零面积集，则可积
因此，对于重积分的概念与本质，实质上就是对无限多分割的求和与累积。
二、重积分的性质
1.几何意义
- 对于二重积分而言，
是以D区域为底，
的值为高求得的立方体的体积，若
，则
表示D区域的面积，
被称为面积元，表示无穷小的一块面积。
- 对于三重积分而言，
是以D区域为体积， 的值为密度求得的立方体的质量， 若，则
表示D区域的面积，
被称为体积元，表示无穷小的一块体积。
2.运算方法
- 对于二重积分的基本运算方法，我们都已耳熟能详，不过就是累次积分法和变量代换法两种，或是二者的结合，对于使用这两种解法的初级题目，我给出以下解题步骤：
1、观察积分区域与被积函数形式，确定是否变量代换。若积分区域为圆形等其他规则几何图形，建议用变量代换，若无，考虑累次积分。
2、画出积分区域，确定x,y的范围。（确定范围时要尤其注意，先确定容易确定的变量范围，然后”后积“此变量，在此之后将该变量取一个常值取截原积分区域，可得另一变量的范围）
3、累次积分，由难到易，变成一元函数积分问题。
- 对于三重积分的基本运算方法，与二重积分类似，
三、重积分的计算相关题型汇总（个人曾经出错的地方）
1、二重积分的运算方法
关于累次积分法
1、一些原本不可积的对象，换序后变得可积（最好在过程中表示出来）
例：计算二次积分
不定积分
不是初等函数，因此按照本题所给的顺序，这个积分是算不出来的。记：
显然，f 在矩形域上的不连续点都在直线
上，这是一个零面积集，所以此函数对于
，关于y在[0,1]上可积；同理，该函数对于
，关于x在[0.1]上可积。所以可进行正常换序。（注意能够正常换序的条件！！！）
下换序过程略。
![f(x,y)=\left\{\begin{matrix} e^{-y^{2}} ,& x\in [0,1],y\in [x,1]\\ 0,& x\in[0,1],y\in[0,x] \end{matrix}\right.](http://img.e-com-net.com/image/info8/6ce87c44dcfa40b4a5b92e14e898c143.gif){kind=small}
2、累次积分时进行区域分割的情况汇总
- x,y的取值范围需要经过分割后才能完整表示整个区域
- 被积函数带有绝对值/被积函数是分段函数
- 在sinx等函数中，一定范围内积分上下限的大小关系发生了变化，为了保持二重积分化为累次积分时积分下限要小于积分上限的原则，需要进行分段讨论。
3、对于“体”的区域分割（由于自己画图时做出体与平面相交区域是十分困难的，所以我们提出单独讲解）
例题：求由平面
围成的两个空间区域的体积。
tip1:若空间想象能力弱，画图困难，可以考虑利用不等式列出所有可能情况，再筛选出合理情况
如：在
时，有两种可能，
和
这两种情况均成立，于是找到了x取值范围中的两个区域，再用累次积分法逐一求解即可
注意：若计算这两个空间区域的体积，应该先将两个区域分别求积分，取绝对值后，再进行相加
tip2：让z=0,将所有函数向xoy平面上做投影，通过投影区域确定x和y的范围与累次积分的顺序
4、若x,y的取值范围无关（如矩形域）且x,y的被积函数可以完全拆开成为只有x的形式与只有y的形式，则二重积分可以写成两个普通的一元函数积分乘积的形式。
关于变量代换法
1、关于从
要注意
1、若变量代换是关于u,v到x,y的函数，可选择先求出
，再取倒数以简化运算
2、注意求出行列式之后要取绝对值！！！
2、对于极坐标的变量代换，自己发现的小规律
1、一般先固定
在某两个特定角度中，再导出
与
2、对于定义域为圆的二重积分，我发现：若过圆心，则
的话）
3、注意：
3、求闭曲线围成区域的面积
step1：求出闭曲线的极坐标方程，确定的范围（闭曲线的话就是从0到2pi）。然后确定的范围（用题中方程式表示）
step2：直接对区域进行二重积分即可
4、求闭曲面围成区域的体积
（如求椭球面）
step1：写出上半曲面的方程，将z与x,y分离（显式表示）
step2：将z赋值为0，对应了此曲面在xy平面上的投影
step3：利用关于坐标轴的对称性，将其化简为x,y两轴正半轴上的部分
step4：得到体积公式
，运用变量代换法求解
#关于椭圆面(
)上x和y的坐标变换
5、对于通过其他变量代换的：关注题目中有规律的结构；最好代换后新的自变量区域为矩形；不要忘记成一个Jacobi矩阵。