Python科学计算：常微分方程2

今天要学习的主要是odeint函数，Scipy.integrate模块的odeint函数是lsoda的Fortran代码的Python封装。

首先来了解一下理论背景：

如果说，我们要对进行数值求解，我们就需要一个函数来计算，其右侧返回一个和y相同形状的数组，还需要一个包含初始值的数组y0，以及一个tvals和一个独立变量t值数组，希望返回相应的y值，那么，这时我们要通过这样的方式来返回y的近似解：

y=odeint(f,y0,tvals)

第一个问题：我们要使用什么样的步长h？他和tvals有什么关系嘞？

答：每个点选择的步长h都受到了保持精度需求的约束，这就出现了我们怎么样去确定精度的问题，函数odeint他就是试着估计局部误差那么，就定义绝对误差为的最小值，同时要求：，同时相应的调整步长就好，但是，如果说变得非常大的话，上面的不等式准则可能会使得我们所选取的步长h变得非常小，也非常低效，那么，我们在定义相对误差，要求：，但是，这个方法在变小的情况下可能会出现问题，所以，通常的准则是：，，是数组，两个默认值是。

odient是可以自动处理刚性问题的方程，或者是方程组。

先跟着书上的学着写一个：

谐波振荡器：

假社，我们希望在t=1处求解：

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
print(odeint(lambda y,t:y,1,[0,1]))

看一看输出的结果：

图1：输出结果

lambda是匿名函数，f作为第一个参数，第二个参数是初始的y值，第三个参数是由强制的初始t值和最终y值组成的列表，这个列表被隐式转换为浮点数的numpy数组，输出由t数值和y数组构成，并且省略了初值。

这里，我们做一个简谐运动的问题：

对上面的方程，我们给他改成一个方程组：

在以及的范围内进行求解和绘图:

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
# print(odeint(lambda y,t:y,1,[0,1]))
import matplotlib.pyplot as plt
def rhs(Y,t,omega):
    y,ydot=Y
    # 为了返回值的清晰，在这里展开了向量参数
    return ydot, -omega**2*y
    #返回了一个元组，而且这个元组被转换成了数组 
t_arr=np.linspace(0,2*np.pi,101)
y_init=[1,0]
omega=2.0
#他这里的传参好怪啊
y_arr=odeint(rhs,y_init,t_arr,args=(omega,))
# args的参数必须是元组，输出被打包成了一个二维数组
y,ydot=y_arr[:,0],y_arr[:,1]
# 解包这个二维数组
fig=plt.figure()
ax1=fig.add_subplot(1,2,1)
ax1.plot(t_arr,y,t_arr,ydot)
ax1.set_xlabel("t")
ax1.set_ylabel("Y and ydot")
ax2=fig.add_subplot(1,2,2)
ax2.plot(y,ydot)
ax2.set_xlabel("y")
ax2.set_ylabel("ydot")
plt.tight_layout()
fig.subplots_adjust(top=0.9)
plt.show()

图2：简谐运动

如果我们继续对上面的代码进行修改，在相空间中创建网格并且绘制方向场，就是网格中的每个点的向量,然后从图形的任意点（任意初始条件）开始绘制解函数：

fig=plt.figure()
y,ydot=np.mgrid[-3:3:21j,-6:6:21j]
u,v=rhs(np.array([y,ydot]),0.0,omega)
mag=np.hypot(u,v)
mag[mag==0]=1.0
plt.quiver(y,ydot,u/mag,v/mag,color="red")
print("\nUse mouse to select number of trajectories")
print("time out after 30 seconds")
choice=[(0,0)]
while len(choice)>0:
    y01=np.array([choice[0][0],choice[0][1]])
    y=odeint(rhs,y01,t_arr,args=(omega,))
    plt.plot(y[:,0],y[:,1],lw=2)
    choice=plt.ginput()
print("timeout!")

图三

说实话，书上的这个代码我是没怎么看懂的，他的意思是说，选择坐标来覆盖相空间中相对粗糙的网格，计算网格中每个点切线向量场的分量，然后用quiver绘制小箭头，大小和方向是向量场的，基点是网格端，在u=v=0（平衡点附近），箭头最终成为了无信息点，然后就是绘制轨迹。

呃，说实话，这东西得对着书上的公式一个一个对着看，不然是真的看不懂。

然后我们看一看范德波尔振荡器：

周期轨道的快速弛豫表面这个例子可能会编的刚性，

图4：输出结果

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
def rhs(y,t,mu):
    return [y[1],mu*(1-y[0]**2)*y[1]-y[0]]
def jac(y,t,mu):
    return [[0,1],[-2*mu*y[0]*y[1]-1,mu*(1-y[0]**2)]]
mu=1.0
t_final=15.0 if mu<10 else 4.0*mu
n_points=1001 if mu<10 else 1001*mu
t=np.linspace(0,t_final,n_points)
y0=np.array([2.0,0.0])
#对odeint函数多加了两个参数，第一个告诉积分器在哪里能够找到雅各比函数，第二个是full_output，积分器运行时，他会记录各种统计数据，这些统计数据可以帮助理解积分器到底在干什么
#true就是说。这些数据可以通过info访问，这里通过选择”nje“就是显示雅各比评估数
#针对mu，我们可以试着进行放大，发现，小于15的时候，不用隐式算法，大于15的时候，会需要用到隐式算法
y,info=odeint(rhs,y0,t,args=(mu,),Dfun=jac,full_output=True)
#（我好像大致明白了，rhs、jac这俩函数，应该是隐式的传递参数吧）
print("mu = %g,number of Jacobian calls is %d "%\
      (mu,info['nje'][-1]))
plt.plot(y[:,0],y[:,1])
plt.show()

他这里的代码有点抽象了，看的不是很懂。

改一改，mu=10的时候看看：

图5：mu=10

图6：mu=20

增加mu就意味着增加周期。

最后一个，我们来看一看洛伦兹方程，他最早时作为天气模型出现的，表现出混沌行为，：

对于未知数x(t)、y(t)、z(t)，方程是：

只允许变化，最初研究的是，的情况，对于较小的值，是可以预测解的行为的，但是一旦的时候，解就变得非周期性，而且，解对初始条件非常敏感，，稍微不同的两个初始数据对应的解轨迹看起来就非常不同。

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
from matplotlib import pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
def rhs(u,t,beta,rho,sigma):
    x,y,z=u
    return [sigma*(y-x),rho*x-y-x*z,x*y-beta*z]
sigma=10.0
beta=8.0/3.0
rho1=29.0
rho2=28.8
u01=[1.0,1.0,1.0]
u02=[1.0,1.0,1.0]
t=np.linspace(0.0,50.0,10001)
u1=odeint(rhs,u01,t,args=(beta,rho1,sigma))
u2=odeint(rhs,u02,t,args=(beta,rho2,sigma))
x1,y1,z1=u1[:,0],u1[:,1],u1[:,2]
x2,y2,z2=u2[:,0],u2[:,1],u2[:,2]
# plt.ion()
fig=plt.figure()
ax=fig.add_subplot(1,1,1, projection='3d')
ax.plot(x1,y1,z1,'b-')
ax.plot(x2,y2,z2,'r:')
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("y")
ax.set_zlabel("z")
ax.set_title("Lorenz euqation with rho=%g,%g"%(rho1,rho2))
plt.show()

图7

哎，我试试改改看看：

：

图8：修改参数

图9

：

图10

的确，的时候，就变得非周期性，难以预测了。

如果，，就会存在平衡点(零速度)：

如果说,只存在唯一一个平衡点：原点，但是似乎在绕着两个非平凡平衡点绕行，从其中的一个平衡点附近，解开始慢慢的螺旋辐射，当半径变得太大时，解跳到另一个平衡点附近，从那里开始进行另一个螺旋辐射，并且过程不断充分，有点像蝴蝶的翅膀。